Непрерывная зависимость решений от начальных данных и параметров

реферат

2. Свойства предельных множеств автономных систем

Рассмотрим автономную систему

f

где область фазового пространства.

Переформулируем теорему 1 на языке траекторий.

Теорема 2. Пусть решение системы , причем , Для любого можно указать , обладающее следующим свойством: любая траектория системы , проходящая при через точку из окрестности точки , определена на промежутке и расстояние при . В частности, точка принадлежит окрестности точки . Если , то аналогичное утверждение справедливо при

С помощью теоремы 2 можно установить еще одно свойство предельных множеств автономных систем.

Теорема 3. Предельные множества траекторий автономных систем состоят из целых траекторий.

Доказательство проведем для случая предельного множества. Пусть есть предельное множество траектории системы и q . Пусть определена как функция на . По теореме 2 для любых и можно указать такое , что

Пусть фиксировано, при . Так как - предельная точка траектории , то для каждого можно указать такое, что . Отсюда и из имеем

Так как , следовательно,

Это означает, что , так как при .

Теорема доказана.

Свойство предельного множества, выраженное теоремой 3, называется его инвариантностью. Такое название объясняется тем, что в силу теоремы 3 предельное множество инвариантно относительно преобразования . Из теоремы 2 вытекает также, что гомеоморфизм области .

Делись добром ;)