4. Методы, основанные на монотонности функций
При решении уравнений типа в ряде случаев весьма эффективным является метод, который использует монотонность функций и . Если функция непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке , а функция непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение на отрезке может иметь не более одного корня.
Напомним, что функция называется возрастающей (или убывающей) на отрезке , если для любых , , удовлетворяющих неравенствам , выполняется неравенство (соответственно, ). Если функция является на отрезке возрастающей или убывающей, то она называется монотонной на этом отрезке.
В этой связи при решении уравнения необходимо исследовать функции и на монотонность, и если одна из этих функций на отрезке убывает, а другая функция --- возрастает, то необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Если, например, функция возстает, a убывает для и при этом , то корней уравнения среди нет. Особенно такой метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения представляют собой весьма ``неудобные для совместного исследования функции. Кроме того, если функция является монотонной на отрезке и уравнение (где --- некоторая константа) имеет на этом отрезке корень, то этот корень единственный.
Задачи и решения
Пример 20 Решить уравнение
Решение. Областью допустимых значений уравнения являются . Рассмотрим функции и . Известно, что функция для является убывающей, а функция --- возрастающей. В этой связи уравнение может иметь только один корень, т.е. , который легко находится подбором.
Ответ: .
Пример 21 Решить уравнение
Решение. Введем новую переменную . Тогда , и уравнение принимает вид
Уравнение имеет очевидный корень . Покажем, что других корней нет. Для этого разделим обе части уравнения на , тогда
Так как , а , то левая часть уравнения является убывающей функцией, а правая часть --- возрастающей функцией. Поэтому уравнение если имеет корень, так только один. Ранее было установлено, что --- корень уравнения . Следовательно, этот корень единственный.
Таким образом, имеем . Тогда единственным корнем уравнения является .
Ответ: .
Пример 22 Решить уравнение
Решение. Разделим обе части уравнения на , тогда
Подбором нетрудно установить, что является корнем уравнения . Покажем, что других корней это уравнение не имеет.
Обозначим и . Очевидно, что . Следовательно, каждая из функций и является убывающей и при этом .
Если , то , и .
Если , то , и .
Следовательно, среди 2 или корней уравнения нет.
Ответ: .
- Введение
- 1. Метод функциональной подстановки
- 2. Метод тригонометрической подстановки
- 3. Методы, основанные на применении численных неравенств
- 4. Методы, основанные на монотонности функций
- 5. Методы решения функциональных уравнений
- 6. Методы, основанные на применении векторов
- 7. Комбинированные методы
- 8. Методы, основанные на использовании ограниченности функций
- 9. Методы решения симметрических систем уравнений
- 10. Методы решения уравнений, содержащих целые или дробные части числа
- Заключение
- Тема 1. Задача как объект педагогики математики. Классификация математических задач
- Глава 2. Методика использования логических задач на уроках математики в начальной школе
- Тема 4. Понятие метода и способа решения текстовой задачи. Методы решения нестандартных арифметических задач (4 часа) Вопросы для обсуждения
- 7.Задачи как средство обучения математике.
- 13. Задачи в обучении математике
- Развитие математического мышления младших школьников с помощью решения нестандартных задач
- 6. Задачи как средство обучения математике
- §2. Решение нестандартных задач в курсе математики 5-6 классов