Нестандартные методы решения задач по математике

5. Методы решения функциональных уравнений

К числу наиболее сложных задач на вступительных конкурсных экзаменах по математике относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида

или

где , , --- некоторые функции и .

Методы решения функциональных уравнений , основаны на использовании следующих теорем.

Теорема 23 Корни уравнения являются корнями уравнения

Доказательство. Пусть --- корень уравнения , т.е. . Тогда справедливы равенства

Отсюда следует, что

т.е. является корнем уравнения .

Теорема 24 Если --- возрастающая функция на отрезке и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . He нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу возрастания функции справедливы неравенства

Так как , то из приведенных выше неравенств следует . Таким образом, получили ложное неравенство. А это означает, что .

Отсюда и из теоремы следует справедливость теоремы .

Следствие 25 Если функция возрастает для любого , то уравнения и равносильны.

Следствие 26 Если функция возрастает на своей области определения, то уравнения и равносильны.

Более сложным является решение уравнения в том случае, когда на некотором отрезке функция является убывающей.

В данном случае имеют место аналоги теоремы и двух следствий только при условии, что в уравнении число нечетное.

Теорема 27 Если --- убывающая функция на отрезке , --- нечетное и , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Доказательство. Пусть является корнем уравнения , т.е.

Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Тогда в силу убывания функции на отрезке получаем неравенства , , , и т. д.

Так как --- нечетное, то

Поскольку , то из последнего неравенства получаем .

Так как --- убывающая функция, то , т.е. . Получили противоречие тому, что по предположению . Следовательно, .

Отсюда, с учетом теоремы , следует справедливость теоремы .

Следствие 28 Если функция убывает для любого и --- нечетное, то уравнения и равносильны.

Следствие 29 Если функция убывает на своей области определения и --- нечетное, то уравнения и равносильны.

Так как в рассмотренных выше случаях функция является убывающей, то уравнение может иметь только один корень. Поскольку уравнение с убывающей функцией и нечетным равносильно уравнению , то уравнение также имеет не более одного корня.

Если в уравнении --- убывающая функция, a --- четное, то в общем случае уравнения и не являются равносильными. Например, уравнение имеет три корня , , и только третий корень удовлетворяет уравнению .

В данном случае для поиска корней уравнения необходимо проводить дополнительные исследования.

Теорема 30 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения , то уравнения и равносильны.

Доказательство. 1) Пусть --- корень уравнения , т.е. . Предположим, что не является корнем уравнения , т.е. . Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что . Отсюда в зависимости от того, какой является функция на области допустимых значений уравнения возрастающей или убывающей, получаем неравенство или , соответственно. В каждом из двух случаев имеем ложное неравенство. Значит, .

2) Пусть --- корень уравнения , т. е. . Отсюда следует .

Следствие 31 Если --- возрастающая (или убывающая) функция на области значений функций и , то уравнения и равносильны.

Также следует отметить, что при решении функционального уравнения необходимо внимательно рассматривать случай, когда функция является четной.

Теорема 32 Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений и при условии, что и .

Доказательство проводится по аналогии с доказательством предыдущей теоремы. При этом используется четность функции , т.е. если , то .

Анализ функции на монотонность удобно осуществлять с помощью производной: если функция дифференцируема на отрезке и (), то функция является возрастающей (убывающей) на данном отрезке.

Задачи и решения

Пример 33 Решить уравнение

где квадратный корень берется раз ().

Решение. Из условия задачи следует, что . Пусть , тогда уравнение принимает вид функционального уравнения .

Так как при функция возрастает и , то уравнение равносильно уравнению , т.е. , положительным решением которого является .

Ответ: .

Пример 34 Решить уравнение

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде функционального уравнения типа , т.е.

где .

Поскольку для любого значения , то функция является возрастающей на всей числовой оси . Следовательно, вместо функционального уравнения можно рассматривать равносильное ему уравнение , для которого является решением.

Ответ: .

Пример 35 Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение следующим образом:



Отсюда получаем уравнение

Пусть , тогда уравнение принимает вид

Так как функция является убывающей на всей числовой оси , то (согласно Следствию ) уравнение равносильно уравнению , т.е. уравнение равносильно уравнению . Отсюда следует уравнение , которое имеет единственный действительный корень .

Ответ: .

Пример 36 Решить уравнение

Решение. Поскольку при всех , то областью допустимых значений уравнения является множество всех действительных чисел.

Положив , и , увидим, что заданное уравнение принимает вид , где и . Так как из следует, что



то функция является возрастающей на области значений функций и . В этой связи уравнение равносильно уравнению и, следовательно, имеет два корня .

Ответ: .