Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам
4 ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Лемма 4.1. Пусть . Тогда:
(1) если , , то ;
(2) если , , то .
Следствие 4.2. Если нильпотентна, то нильпотентна.
Теорема 4.3. Пусть , и . Если нильпотентна, то нильпотентна.
Теорема 4.4. (1) Центр неединичной нильпотентной группы отличен от единицы и .
(2) В нильпотентной группе каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.
(3) В нильпотентной группе пересечение неединичной нормальной подгруппы с центром группы отлично от единицы и .
Лемма 4.5. Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:
(1) если , то и ;
(2) если , то и ;
(3);
(4).
Теорема 4.6. Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда её коммутант содержится в подгруппе Фраттини.
Теорема 4.7. Пусть . Тогда:
(1) ;
(2) ;
(3) если , то ;
(4) если и , то .
Лемма 4.8. Тогда и только тогда подгруппа является добавлением к нормальной подгруппе в группе , когда и .
Следствие 4.9. (1) Если - главный фактор конечной группы , то и
(2) Если - главный фактор порядка конечной группы , то - циклическая группа порядка, делящего .
Теорема 4.10. (1) Если существует натуральное число такое, что , то группа нильпотентна.
(2) Ступень нильпотентности нильпотентной группы есть наименьшее натуральное число , для которого
Лемма 4.11. Пусть . Тогда:
(1) если , то либо , либо и ;
(2) если абелева и для некоторой собственной подгруппы группы , то ;
(3) если и , то .
[1] Шеметков Л. А.//Докл. АН СССР. 1968. Т. 178, № 3. С. 559-662.
[2] Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М., 1978.
[3] Hall Ph.//J. London Math. Soc. 1937. Vol. 12. P. 201-204.
[4] Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М., 1980.
[5] Ведерников В.А. Вполне факторизуемые формации конечных групп // Вопросы алгебры. Вып.5. - Минск: Изд-во "Университетское", 1990. - С. 28-34.
[6] Ведерников В.А. Формации конечных групп с дополняемыми подформациями длины 3 // Вопросы алгебры. Вып.6. - Минск: Изд-во "Университетское", 1990. - С. 16-21.
[7] Скиба А.Н. О формациях с заданными системами подформаций // Подгрупповое строение конечных групп. - Мн.: Наука и техника, 1981. - С. 155-180.
[8] Скиба А.Н., Шеметков Л.А. Формации алгебр с дополняемыми подформациями // Укр. мат. журн. - 1991. - Т. 43, № 7, 8. - С. 1008-1012.
[9] Скиба А.Н. Алгебра формаций // Мн.: Беларуская навука, 1997. - 240 c.
[10] Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп // М.: Наука, 1980. - 384 c.
[11] Guo Wenbin. Local formations in which every subformation of type has a complement // Chinese science Bulletin. - 1997. - Vol. 42, № 5. - P. 364-368.
[12] Hall P. A characteristic property of soluble groups // J.London Math. Soc. - 1937. - 12. - P. 198-200.
[13] Левищенко С. С.//Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. С. 173-196.
[14] Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin-Heidelberg-New York, 1976.
[15] Монахов В. С.//Конечные группы. Минск, 1975. С. 70-100.