Нормированные пространства

дипломная работа

§1. Основные понятия.

Рассмотрим применение теории интерполяции для пространств .

Пусть {z}zZ - последовательность неотрицательных чисел. Определим на множестве Z меру следующим образом: для любого целого числа . Пространство суммируемых со степенью p последовательностей относительно меры m, то есть таких, что обозначается .

Так как мера m определена на множестве всех подмножеств множества Z, то любую последовательность можно рассматривать как измеримую функцию. Обозначим через линейное пространство всех последовательностей.

Определение. Число называется нормой последовательности xn из lp(m,Z).

В случае, если для всех z, то получим классическое пространство lp(Z) последовательностей, суммируемых со степенью p .

Определение. Оператор Т, действующий из пространства в называется оператором слабого типа (p,p), если , где , и оператором типа (p,p), если .

В этом случае остается справедливым следующий факт: любой оператор типа есть оператор слабого типа . Прежде чем установить его истинность, докажем утверждение, которое для этого понадобится.

Утверждение 5. Пусть дана последовательность из с неотрицательными членами. Тогда .

Доказательство.

Обозначим . Нужно доказать, что .

. Получили, что .

Утверждение доказано.

Предложение 5. Любой оператор типа есть оператор слабого типа .

Доказательство.

Дано, что и . Доказать, что

.

Возьмем произвольное положительное число . По утверждению 5

. По условию . Тогда , что и требовалось доказать.

Легко увидеть, что теорема Марцинкевича будет справедлива и для операторов, действующих из пространств в пространство .

Делись добром ;)