1.4.3 Полухарактеры и характеры в Sp

Теорема. Отображение является полухарактером , где , а таково, что .

Доказательство. 1) Пусть , непрерывно как композиция непрерывных отображений; кроме того, . Также заметим, что

,

т.е.

.

Таким образом, - полухарактер.

2) Пусть теперь - некоторый полухарактер. Тогда , т.е. . Положим , , g непрерывна как композиция непрерывных функций (ц непрерывна по условию). Тогда

= и

.

Выше было показано (п. 1.3), что в этом случае , где .

Следовательно, , ч.т.д.

Замечание. Для характеров формулируется и доказывается аналогичная теорема, с той лишь разницей, что на константу c налагается условие | c | = 1.

1.5 Полугруппа S

1.5.1 Определение и некоторые свойства

Рассмотрим множество: . Введем на нем алгебраическую операцию следующим образом:

.

Обозначим . Тогда справедливо утверждение:

Лемма. Множество является абелевой полугруппой без нулевого элемента и обладает сокращениями.

Доказательство. Очевидно, что введенная операция определена на всем множестве. Нетрудно видеть, что

=

= =

.

операция ассоциативна на . Тогда по определению - полугруппа. Заметим, указанная операция коммутативна. Действительно:

.

Значит, является абелевой полугруппой.

В не существует нулевого элемента, т.к. таким элементом может являться только пара (0,0).

Пусть теперь , . Тогда

,

Получаем, что обладает правыми сокращениями. Аналогично показывается, что обладает и левыми сокращениями, т.е. обладает сокращениями.

Итак, - абелева полугруппа с нулем, обладающая сокращениями, ч.т.д.

Замечание. Наряду с полугруппой мы также можем рассматривать и полугруппу , для которой верна аналогичная лемма.

1.5.2 Инвариантная мера в S

Попытаемся ввести в инвариантную меру. Нетрудно убедится,

что -алгебра борелевских множеств на является сужением -алгебры борелевских множеств на , т.е.

.

В можно ввести меру Лебега (обозначим её ). Тогда положим . Заметим, что , значит естественно определить: . определяется через меру Лебега, а стало быть является -аддитивной мерой.

В существует топология, индуцированная естественной топологией . Она является топологической полугруппой, т.к. отображение является непрерывным.

Теорема. является инвариантной мерой, заданной в полугруппе .

Доказательство. Докажем, что данная мера инвариантна слева, т.е. . Ввиду -аддитивности меры достаточно показать, что это верно для M = [a;b), где ,. Покажем это.

.

Т.к. непрерывна, то

Тогда .

Итак, данная мера инвариантна слева. Аналогично показывается, что она инвариантна справа, ч.т.д.