Обобщение классических средних величин

дипломная работа

3. Тождественные квази-средние

Квази-среднее определено, если задана функция . Возникает естественный вопрос, справедливо ли обратное предложение: если для любых или и -тождественны, то следует ли отсюда, что задающие их функции и также тождественны. Ответ на этот вопрос даёт следующая

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием тождественности квази-средних и является условие , где .

Доказательство. Если указанное условие выполняется, то

, и поэтому

= или = для любых , то есть условие достаточно.

Обратно, пусть =, = или . Обозначая и , перепишем =.

Сведём это равенство к функциональному уравнению. Возьмём точку из области значений функции и представим . Тогда = или =. Полагая , где для каждого i, найдём =, где не зависит от .

Поэтому =, что с обозначениями , , перепишется так: .

Тогда решением этого функционального уравнения будет функция , , где . Так как , то , или, если взять .

Таким образом, чтобы задать одно и то же квази-среднее мы можем взять любую функцию из целого класса функций , где а?0 и b - произвольные постоянные, и другого способа получить тождественные квази-средние не существует.

Делись добром ;)