Общие свойства конечных групп с условием плотности для F-субнормальных подгрупп

курсовая работа

3. Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп

В работе Закревской Л.Н. был исследован вопрос о строении группы , в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно для случая, когда --- класс всех -нильпотентных групп. При рассмотрении произвольной формации возможен случай, когда . Строение таких групп исследуется в в данном разделе.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая формации , . Тогда разрешима.

Доказательство. Пусть и --- группа минимального порядка, для которой теорема не верна. Так как , то содержит все силовские -подгруппы, . Следовательно, каждая -субнормальная подгруппа должна содержать все силовские -подгруппы, .

Пусть --- силовская -подгруппа группы и . Тогда если в ней существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная подгруппа такая, что . Тогда, по доказанному, содержит все силовские -подгруппы, . Противоречие. Значит, в нет вторых максимальных подгрупп и .

Предположим, что . Тогда каждая максимальная подгруппа группы будет -абнормальной в . Пусть некоторая неединичная силовская подгруппа группы . Если предположить, что в существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что . Отсюда следует, что . Противоречие. Следовательно, --- простое число. Получили, что каждая неединичная силовская подгруппа из имеет простой порядок и, значит, разрешима, что противоречит нашему предположению.

Пусть теперь . Так как, по доказанному, , то . Тогда по индукции --- разрешимая группа. По доказанному, каждая силовская подгруппа фактор-группы имеет простой порядок, и, значит, разрешима. Следовательно, разрешима и сама группа . Лемма доказана.

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- группа, в которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно, . Тогда --- группа одного из следующих типов:

1) , , ;

2) , , максимальна в , , ;

3) , , .

Доказательство. По лемме, разрешима. Так как , то ясно, что . Положим и рассмотрим холлову -подгруппу группы . Если единичная подгруппа не является максимальной в , то существует -субнормальная в подгруппа такая, что . По лемме , и, значит, --- -группа. Получили противоречие. Таким образом, равен либо 1, либо является простым числом.

Рассмотрим теперь холлову -подгруппу группы . Пусть --- нормальная максимальная подгруппа из . Пусть , . Если 1 не максимальна в , то между 1 и можно вставить -субнормальную подгруппу, индекс которой, по лемме , является -числом. Понятно, что этот индекс делится на . Получаем противоречие. Значит, равен либо квадрату простого числа, либо простому числу, либо произведению двух различных простых чисел.

Если , то ясно, что либо типа 1), либо типа 3). Пусть --- простое число. Если --- простое число, то --- группа типа 1). Пусть , где --- простые числа. Предположим, что в существует подгруппа порядка . Так как 1 не максимальна в , то между 1 и существует, по условию, -субнормальная подгруппа, индекс которой, по лемме, является -числом. Но этот индекс делится и на . Остается принять, --- максимальная подгруппа группы . Но тогда и --- группа типа 2). Теорема доказана.

Приведем пример, показывающий, что классы групп, перечисленные в теореме, не пусты.

Пусть --- такая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп, что не совпадает с множеством всех простых чисел. Пусть --- любое простое число, не входящее в . Тогда всякая группа порядка , где --- любое простое число, является группой типа 1), а всякая группа порядка или является группой типа 3) теоремы. Предположим, что и существует такое простое число , что и (в частности, можно взять и ). В сплетении группы порядка с группой порядка возьмем подгруппу Шмидта . Тогда имеет порядок и является группой типа 2) теоремы.

Делись добром ;)