2. Теорема о пересечении гиперболической и цилиндрической поверхностей вращения

Правильные многогранники можно вписать в сферу, поэтому все задачи на вращение правильных многогранников, содержащие пересекающиеся поверхности вращения, удовлетворяют следующей теореме.

Теорема Монжа

Две поверхности второго порядка, которые касаются третьей поверхности второго порядка по плоским кривым линиям, пересекаются между собой по плоским кривым линиям второго порядка.

Очевидно, что в рассматриваемых задачах на вращение правильных многогранников линиями пересечения поверхностей вращения являются окружности.

Как отмечалось, фигуры, полученные в результате вращения многогранника относительно произвольной оси, ограничены лишь такими видами поверхностей как:

o коническая поверхность,

o цилиндрическая поверхность,

o круг или кольцо,

o однополостный гиперболоид.

В задачах 3.2 и 4.2 пересекаются поверхность однополостных гиперболоидов с цилиндрической поверхностью. Образующими этих поверхностей вращения являются ребра многогранников, которые, будучи сторонами правильных многоугольников с нечетным числом сторон, несут в себе интересную закономерность относительно высот каждого вида указанных поверхностей для фигуры вращения.

Теорема. Если правильный многоугольник с нечетным числом сторон вращается относительно оси, параллельной одной из его сторон и проходящей через перпендикуляр к плоскости многоугольника в центре его, то расстояние до оси вращения линии пересечения однополостного гиперболоида и цилиндрической поверхности, образующими которых являются стороны многоугольника, равно расстоянию от оси вращения до стороны многоугольника, параллельной этой оси.