1.8 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Здесь мы встретимся с задачами на степени целых, главным образом натуральных чисел с натуральными показателями.

Назовем точной степенью степень целого числа с натуральным показателем, большим 1. В частности, квадрат и куб целого числа будем называть точным квадратом и точным кубом.

Пример 1:

Сумма двузначного числа и его обращенного -- точный квадрат. Найдите все такие числа.

Сложим двузначное число ab с его обращенным:

+ = (10а + b) + (10b + а) = 11(а + b)

Так как число 11(а + b) -- точный квадрат, то сумма а + b делится на 11. Но поскольку а и b являются цифрами, то она равна 11: а + b = 11.

Далее нетрудно перебрать все возможные случаи, связанные с а и b.

Ответ:

29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92

Пример 2:

Натуральное число записывается с помощью 10 шестерок и нескольких нулей. Может ли оно быть точной степенью?

Сумма цифр этого числа равна 60. Тогда на основании признаков делимости на 3 и на 9 число делится на 3, но не делится уже на 3²= 9. Следовательно, оно не является ни точным квадратом, ни точным кубом, ни вообще точной степенью с каким-либо натуральным показателем, большим 1.

Ответ:

не может

Задачи:

1.Какой точный квадрат равен произведению четырех последовательных нечетных чисел?

Ответ:

9=(-3)•(-1)•1•3

2.Может ли произведение n(n+1) при каком-либо натуральном n быть точной степенью?

Ответ:

не может

3. Четырехзначное число -- точный квадрат, причем две первые его цифры одинаковы и две последние тоже одинаковы. Найдите все такие числа.

Ответ:

7744=82²

4. Натуральное число оканчивается на 316. Может ли оно быть точным кубом?

Ответ:

не может

5.Найдите наибольшее значение n, при котором последовательность с общим членом х_n=n²-n+19 является точным квадратом?

Ответ:

n=19

6.Разность между трехзначным числом и суммой его цифр есть полный квадрат. Найти все такие числа.

Ответ:

для у² возможны значения 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Из этих значений всего получим 70 чисел

7.Найдите двузначное число, если сумма его цифр состоит из одинаковых чисел, а сумма квадратов его цифр, увеличенная на 10, равна самому числу.

Ответ:

83

8.При каких значениях a и b многочлен х⁴+ах³+bx²-8x+1 обращается в точный квадрат?

Ответ:

а₁=-8, а₂=8, b₁=18, b₂=14

9. Какие остатки могут давать при делении на 4: а) сумма; б) разность двух точных квадратов?

Ответ:

а) 0, 1 или 2 б) 0, 1 или 3

10. Существует ли такое натуральное n, что 6n -- точный куб, а 8n -- точная четвертая степень?

Ответ:

существует, например n=209952

11. Наборщик рассыпал часть набора -- набор пятизначного числа, являющегося точным квадратом, записывающимся цифрами 1, 2, 5, 5 и 6. Найдите все такие пятизначные числа.

Ответ: 125²=15625

12.Верно ли, что число 2004•2005•2006•2007+1 является точным квадратом?

Ответ:

верно

13.Доказать, что выражение является целым числом--квадратом.

Ответ:

А=4=2²

14.Показать, что многочлен (х+а)(х+2а)(х+3а)(х+4а)+а⁴ есть квадрат трехчлена.

Указание:

показать, что данный многочлен имеет вид (х²+Вх+Са²)². Далее раскрыть скобки.

15.Существует ли четырехзначное число-квадрат, у которого сумма цифр равна числу, образованному первыми двумя цифрами, причем, первые два и последние два числа, также являются квадратами.

Ответ:

1681