Олимпиадные задачи по математике за 8-9 классы
1.12 НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
Иногда приходится решать в целых числах не уравнения, а неравенства. Так, при решении уравнений первой степени с двумя неизвестными в натуральных числах мы нередко решали эти уравнения в целых числах, а затем для выделения решений в натуральных числах решали систему двух неравенств первой степени с одним
неизвестным в целых числах. Необходимость в этом возникает и при решении некоторых других уравнений в целых числах. Например, при решении в натуральных числах уравнения z -- х + у -- ху приходится решать в натуральных числах неравенство
х + у - ху > 0. Наконец, встречаются текстовые задачи, решение которых сводится к решению в целых (а чаще натуральных) числах неравенств или систем неравенств.
Пример:
Решите в целых числах x,y и z неравенство
Соберем все члены неравенства в левой части: х2 +у2 + z2 -ху - 3у - 2z + 3 < 0.
Заменим это неравенство следующим: х2 + у2 + z2 -ху - 3у - 2z + 4 ? 0.
Полученное неравенство при целых х, у и z равносильно предыдущему. Теперь выделим в левой части квадраты сумм. Полезно предварительно умножить неравенство на 4.
Ясно, что сумма в левой части последнего неравенства отрицательной быть не
может, она может только равняться нулю. Тогда
Находим отсюда х, у и z: у = 2, х=1, z=l.
Ответ:
(1, 2, 1)
Задачи:
5. Решите в целых числах х и у систему неравенств
Ответ:
(0, 0), (2, 0), (1, 1)
6. Решите систему неравенств в натуральных числах х и у.
Ответ:
(1, 2)
7. Сколько решений в целых числах х и у имеет неравенство
Ответ:
181
8. Три одноклассника купили 13 пирожков, причем Костя купил в два раза меньше Толи, а Володя -- больше Кости, но меньше Толи. Сколько пирожков купил каждый из них?
Ответ:
3, 4, 6
9. В гараже 40 автомобилей разных типов: грузовые, легковые и автобусы. Автобусов меньше, чем легковых машин, а легковых машин в 12 раз меньше, чем грузовых. Найдите число автомобилей каждого типа.
Ответ:
36 грузовых, 3 легковых, 1 автобус
10. На одинаковых грузовиках перевезли 10 560 кг груза. Легковых автомобилей было на 6 меньше, чем грузовиков, и они перевезли 560 кг груза. Сколько было легковых автомобилей, если каждый из них перевозил груза меньше, чем грузовик, более чем на 1 т и машины грузились равномерно?
Ответ:
2
11. В отчете о лыжных соревнованиях говорится, что процент участников, прошедших дистанцию до конца, заключен в пределах от 94,2 % до 94,4 % участников. (Некоторая неопределенность этих данных объясняется неясностью с выступлениями отдельных участников.) Каково наименьшее число участников соревнований?
Ответ:
35
12. Найдите два натуральных числа, если их произведение заключено между 200 и 240, а отношение -- между 20 и 24. Укажите все решения.
Ответ:
(67, 3), (68, 3), (69, 3), (70, 3), (71, 3)
13. Сколько решений в целых числах имеет неравенство
Ответ:
21
14. Найдите два натуральных числа, если их произведение заключено между 120 и 130, а отношение -- между 2 и 3. Укажите все решения.
Ответ:
18 и 7
15. Решите в целых числах х, у и z систему неравенств
Ответ:
(0, 0, 0), (1, 1, 1)