Описание конечных групп с плотной системой-субнормальных подгрупп для формации -нильпотентных групп

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

Доказательство. Пусть --- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как неразрешима, то она имеет подгруппу порядка , где --- простое число. По условию, имеет -субнормальную подгруппу такую, что делит . Поэтому в существует максимальная подгруппа, содержащая . Таким образом, .

По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы . Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы . Так как класс всех разрешимых групп и класс всех -нильпотентных групп --- насыщенные формации, то мы получаем, что . Очевидно, имеет минимальную нормальную подгруппу , содержащуюся в .

1. Рассмотрим случай . Допустим, что неразрешима. Тогда содержит подгруппу порядка , где . Так как 1 не максимальна в , то в существует -субнормальная подгруппа такая, что . По лемме, есть -число. Мы получаем, что и , т.е. оказывается -нильпотентной -группой. Противоречие. Следовательно, разрешима.

Ввиду леммы , лемма верна для . Значит, либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой. Так как , то мы видим, что лемма верна и для .

2. Теперь рассмотрим случай . Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы . Следовательно, каждая собственная подгруппа группы либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

2.1. Предположим, что содержит разрешимую -нормальную максимальную подгруппу. Тогда разрешима, а --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Из следует, что является -группой для некоторого простого .

Предположим, что и . Так как неразрешима, то имеет подгруппу порядка , где . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как --- -группа, а по лемме, индекс является -числом, то мы получаем, что --- -нильпотентная -группа. Противоречие.

Случай и невозможен, так как --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Поэтому остается рассмотреть случай . Но тогда является -разрешимой -группой. Так как неразрешима, то в холловой -подгруппе из найдется нециклическая силовская подгруппа . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Обозначим через формацию всех -нильпотентных групп. По лемме, -субнормальна в . Теперь по теореме, мы имеем . Следовательно, , а значит, централизует . Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из централизует . Так как не принадлежит , то не централизует . Итак, в имеется циклическая силовская подгруппа , которая не централизует . Ввиду теоремы, не максимальна в . Теперь, применяя к те же рассуждения, что и для , получаем, что централизует . Пришли к противоречию.

2.2. Итак, пусть теперь каждая -нормальная максимальная подгруппа группы является -нильпотентной -группой. Тогда оказывается -группой, а ее -корадикал -нильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что имеет -абнормальную максимальную подгруппу , которая не является -нильпотентной. По предположению, разрешима. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, является -группой для некоторого простого числа . Если , то -нильпотентна, противоречие. Таким образом, , т.е. есть -группа. Выберем в подгруппу , удовлетворяющую следующим условиям: 1) --- степень простого числа; 2) не является -группой; 3) не максимальна в . По условию, в найдется -субнормальная подгруппа такая, что . По теореме , , а потому мы имеем . Так как не -нильпотентна, то мы получаем, что не является -группой. Мы видим, что в существует силовская -подгруппа такая, что максимальна в , и . Если нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы и , которые, как мы доказали, централизуют . Отсюда следует, что и централизует , что невозможно. Следовательно, --- циклическая максимальная подгруппа в . Группа у нас -разрешима. Будем считать, что содержится в холловой -подгруппе группы . Если максимальна в , то учитывая, что циклическая, мы получаем, что, по теореме , подгруппа разрешима. Но тогда и разрешима. Получаем противоречие. Таким образом, не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как , мы получаем, что -субнормальна в . По теореме , . Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Предположим, что , --- -группа, не -нильпотентна, а все ее -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1) --- группа Шмидта и ;

2) , силовская -подгруппа из совпадает с и является ее минимальной нормальной подгруппой;

3) , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , имеющая индекс в , а подгруппа является циклической, причем .

Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть --- некоторая -абнормальная максимальная подгруппа из . Тогда, по условию, некоторая холлова -подгруппа входит в и нормализует ее силовскую -подгруппу . Так как --- -группа, то . А так как и -нильпотентна, то из вытекает, что . Рассмотрим два случая: и .

1. . По лемме, либо максимальна в , либо -субнормальна в . Пусть вначале -субнормальна в . Тогда, по теореме, . Так как , то получается, что --- силовская -подгруппа из , нормализующая . Это противоречит тому, что не -нильпотентна. Пусть теперь максимальна в . Тогда . Значит, либо совпадает с силовской -подгруппой , либо .

1.1. . Допустим, что в имеется ненильпотентная -нормальная максимальная подгруппа . Будем считать, что ее холлова -подгруппа содержится в . Так как не максимальна в и , то, по лемме, -субнормальна в , а значит, и в . Теперь по теореме, , а значит, нильпотентна. Итак, --- группа Шмидта. Но тогда нормальна в , а значит, ввиду теоремы, не может быть абелевой. Таким образом, . Так как , то . Итак, --- группа типа 1).

1.2. не является силовской -подгруппой в . Тогда и Таким образом, является минимальной нормальной подгруппой в . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа нормальна в и не -нильпотентна. Подгруппа содержится в и характеристична в . Так как --- минимальная нормальная подгруппа, то --- силовская -подгруппа из . Пусть --- такая строго содержащая подгруппа из , что максимальна в . Из равенства следует, что не является -нильпотентной группой. Каждая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, является -субнормальной в , а значит, и в . Теперь по лемме, --- минимальная не -группа, т.е. --- группа Шмидта. Таким образом, --- циклическая -группа, . Так как , то . Лемма в этом случае доказана.

2. . Таким образом, --- дополнение к подгруппе , которая является в этом случае силовской подгруппой в и к тому же минимальной нормальной подгруппой. Если каждая собственная подгруппа из -субнормальна в , то по лемме, является группой Шмидта, т.е. --- группа типа 3).

Предположим, что не является группой Шмидта. Тогда в имеется не -нильпотентная -нормальная максимальная подгруппа , холлова -подгруппа которой входит в , принадлежит и, ввиду теоремы, не является -субнормальной в (в противном случае, по теореме, подгруппа была бы -нильпотентной). Выберем в такую подгруппу , что и максимальна в . Допустим, что в имеется -субнормальная в подгруппа , не содержащаяся в . Тогда, по теореме, , т.е. . Тогда содержит и , т.е. . Так как --- минимальная нормальная подгруппа, то . Любая собственная подгруппа из не максимальна в и, по лемме, является -субнормальной в . Теперь по лемме, примененной к , получаем, что --- минимальная не -группа. Таким образом, --- группа Шмидта. Значит, --- примарная циклическая группа. Так как разрешима и --- минимальная нормальная подгруппа, то мы видим, что --- группа типа 2).

Итак, каждая подгруппа из , -субнормальная в , содержится в . Пусть --- простой делитель индекса . Силовская -подгруппа из не входит в и потому не является -субнормальной в . Поэтому по лемме, максимальна в . Отсюда следует, что . Лемма доказана.

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп, и каждая -абнормальная максимальная подгруппа из -нильпотентна. Тогда либо является -нильпотентной -группой, либо группой одного из типов:

1) --- группа Шмидта и ;

2) , силовская -подгруппа является минимальной нормальной подгруппой в ;

3) , , где --- минимальная нормальная подгруппа в , , циклическая, .

Доказательство. Пусть не является -нильпотентной -группой. По лемме, разрешима. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Так как , то каждая -абнормальная максимальная подгруппа является -абнормальной, а значит, ввиду условия, и -нильпотентной. По тереме , --- -группа, и теперь мы применяем лемму в случае . Лемма доказана.

Пусть --- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- не -нильпотентная группа c плотной системой -субнормальных подгрупп и . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из либо -нильпотентна, либо является бипримарной группой Миллера--Морено.

Доказательство. По лемме, разрешима. Пусть --- не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа группы . По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп в плотно. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, --- -группа. Значит, --- группа типа 1), 2) или 3) леммы. В дальнейшем обозначает формацию всех -нильпотентных групп. Пусть --- группа типа 1), т.е. --- группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и . Тогда не максимальна в . По условию, в имеется -субнормальная подгруппа такая, что . Кроме того, . Получается, что -субнормальна в , а значит, и в . По теореме, , что невозможно. Итак, либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

1. , . Тогда холлова -подгруппа группы строго содержит некоторую .

Предположим, что --- типа 2). Пусть --- произвольная собственная подгруппа из . Так как не максимальна в , то существует -субнормальная в подгруппа такая, что . Подгруппа будет -субнормальна в . Поэтому и будет -субнормальна в . По теореме, , т.е. . Таким образом, каждая собственная подгруппа из -нильпотентна, а значит, --- группа Шмидта, в которой --- минимальная нормальная подгруппа. Значит, в этом случае лемма верна.

Итак, ---группа типа 3), т.е. , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , силовская -подгруппа из циклическая и . Если -субнормальна в , то, по теореме, нильпотентна и, значит, , что невозможно. Значит, не -субнормальна в . Если не максимальна в , то, по условию, в найдется -субнормальная подгруппа такая, что . Получается, что --- нормальная подгруппа -субнормальной разрешимой -подгруппы , а потому будет -субнормальной в . Итак, максимальна в , а значит, . Пусть --- силовская -подгруппа из , являющейся дополнением к в , очевидно, . Так как не максимальна в , то для некоторой -субнормальной подгруппы из . Тогда . Так как , то мы видим, что не содержится в . Ввиду леммы , -абнормальные максимальные подгруппы -абнормальных максимальных подгрупп из принадлежат , поэтому, по теореме, имеем . Получается, что . Вспоминая, что --- минимальная нормальная подгруппа в , мы получаем, что содержащаяся в минимальная нормальная подгруппа группы совпадает с , либо с . Случай не возможен, так как и не -нильпотентна. Значит, . Рассмотрим -нильпотентную подгруппу . По условию, содержится в некоторой подгруппе из , которая -субнормальна в . Так как , то будет -абнормальна в , а значит, и в . Тогда, по теореме , -нильпотентна, что противоречит тому, что не -нильпотентна. Случай 1 полностью рассмотрен.

2. . Будем доказывать этот случай по индукции, используя тот уже доказанный нами факт, что для -абнормальных максимальных подгрупп, индекс которых не является степенью , утверждение леммы выполняется. Нам надо рассмотреть две возможности: --- либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

Рассмотрим сначала случай, когда типа 2), т.е. , силовская -подгруппа из совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в . Ясно, что содержит силовскую -подгруппу группы , а нормальна в ; а кроме того, холлова -подгруппа из является холловой -подгруппой в . Подгруппа является -абнормальной максимальной подгруппой в ; кроме того, --- холлова -подгруппа в . Если --- любая -абнормальная максимальная подгруппа из , не сопряженная с , то индекс не делится на . Но тогда --- -абнормальная максимальная подгруппа в с индексом, не делящимся на . По доказанному, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Будем считать, что . Заметим, что . Если --- -замкнутая группа Миллера-Морено, то --- минимальная нормальная подгруппа в и, значит, , что невозможно. Таким образом, в все -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. По теореме, --- -группа. Вспоминая, что , получаем . Допустим, что в имеется максимальная подгруппа такая, что не -нильпотентна. По теореме, не -субнормальна в . Так как не максимальна в , то для некоторой собственной -субнормальной подгруппы из . Значит, . Подгруппа максимальна в и содержится в . Поэтому . Так как и , то является собственной -субнормальной подгруппой в , и поэтому является собственной подгруппой в . Так как не -нильпотентна, то . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . По индукции, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Предположим, что --- группа Миллера-Морено. Тогда , где максимальна в , а --- минимальная нормальная подгруппа в . Так как и , то , что невозможно, так как --- собственная подгруппа в . Значит, -нильпотентна и, более того, принадлежит . Если не максимальна в , то, по условию, , где -субнормальна в . Но тогда -субнормальна в , что невозможно. Таким образом, максимальна в и, значит, , где . Так как и максимальна в и имеет силовскую -подгруппу порядка , то --- максимальная нормальная подгруппа в , а значит, --- тоже элементарная абелева -группа.

2.1. , . Так как --- минимальная нормальная подгруппа в , то . По теореме Машке, , где . Так как , то -главные факторы и центральны. Но тогда и содержатся в . Если , то из вытекает, что , а это противоречит тому, что --- -эксцентральный главный фактор в . Значит, . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа не максимальна в , поэтому , где --- некоторая -субнормальная подгруппа из . Так как , то не может быть -субнормальной в . Поэтому . Из максимальности в выводим, что совпадает либо с , либо с . В обоих случаях . Отсюда и из -субнормальности подгруппы следует, что -субнормальна в , и мы приходим к противоречию.

2.2. , . Так как , то главные факторы и изоморфны, откуда выводим, что содержится в . Но тогда --- неединичная подгруппа из , что невозможно, так как -эксцентральна. Получили противоречие.

2.3. . Так как , то из следует, что , а это противоречит минимальности в . Поэтому остается принять, что . Это означает, что -нильпотентна. Но была выбрана ранее так, что не -нильпотентна. Снова получили противоречие.

Таким образом, в нет максимальных подгрупп таких, что не -нильпотентна. Получается, что --- минимальная не -нильпотентная группа с минимальной нормальной подгруппой , т.е. --- группа Миллера-Морено.

Пусть теперь --- группа типа 3), т.е. , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , не являющаяся силовской в , а силовская -подгруппа из является циклической и . Если -субнормальна в , то -нильпотентна по теореме и, кроме того, дополнение к в тоже -нильпотентно. А это противоречит тому, что не -нильпотентна. Поэтому в дальнейшем мы будем иметь в виду, что не -субнормальна в .

Если не максимальна в , то по условию, , где -субнормальна в . Так как , то получается, что -субнормальна в , что невозможно. Итак, максимальна в . Пусть --- дополнение к в , а --- дополнение к в силовской -подгруппе из . Тогда , . Подгруппа не максимальна в , но максимальна в , т.е. . Поэтому, по условию, существует -субнормальная подгруппа такая, что . Значит, содержится в максимальной подгруппе группы , содержащей . Равенство показывает теперь, что не содержится в . Подгруппа максимальна в , поскольку ее индекс равен . Так как ---собственная -субнормальная подгруппа в , то не равна , но содержит . Значит, . Но --- собственная -субнормальная подгруппа в , поэтому . Получается, что --- собственная подгруппа из . Ясно, что содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Для лемма верна по индукции, поэтому либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Если -нильпотентна, то из выводим, что и поэтому , что невозможно. Таким образом, --- группа Миллера-Морено, у которой --- силовская -подгруппа. Но тогда ввиду того, что и , мы получаем . Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть --- -группа, не принадлежащая непустой -замкнутой -нильпотентной формации такой, что содержит и не совпадает с множеством всех простых чисел. Скажем, что является:

1) группой типа , если - не -нильпотентная -группа Шмидта с ;

2) группой типа , если , , нециклическая, --- минимальная нормальная подгруппа в , является нильпотентной максимальной подгруппой в , а любая другая максимальная подгруппа из , содержащая , является группой Миллера-Морено;

3) группой типа , если , , , , в имеется нильпотентная -нормальная максимальная подгруппа, а также -абнормальная максимальная подгруппа, являющаяся группой Миллера--Морено;

4) группой типа , если , , где , , нормальна в , циклическая, --- минимальная нормальная подгруппа в , имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются , и ;

5) группой типа , если , --- минимальная нормальная подгруппа в , является циклической максимальной подгруппой в , --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , и --- группа Фробениуса;

6) группой типа , если , и если , и --- силовская база группы , то нормальна в , нормальна в , одна из подгрупп , нормальна в , максимальна в , имеется точно три класса сопряженных максимальных подгрупп в , представителями которых являются: --- группа Миллера-Морено, и ;

7) группой типа , если , , --- группа порядка , не являющаяся группой Фробениуса и имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются: --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , --- группа типа , ;

8) группой типа , если , , --- группа Фробениуса порядка , имеющая точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются: --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , --- либо группа Миллера-Морено, либо группа типа , .

Пусть , где --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Будем считать, что и таковы, что , но . Так же, как и в примере, строим группу Шмидта порядка . По теореме Гольфанда, существует группа Шмидта порядка . Очевидно, . Таким образом, группы и --- группы типа .

Пусть , где --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Будем считать, что . Пусть --- неабелева группа порядка . Тогда , где , , . Рассмотрим группу , где . Ясно, что , . Таким образом, --- группа типа .

Пусть , где --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Пусть --- циклическая группа порядка , --- такая подгруппа из , что --- простое число, делящее и входящее в . Пусть . Так как циклическая, то из теоремы вытекает, что и . Отсюда следует, что --- -нормальная нильпотентная максимальная подгруппа, а любая подгруппа порядка является группой Миллера-Морено. Значит, --- группа типа .

Пусть --- нециклическая группа порядка , --- неабелева неприводимая группа автоморфизмов порядка группы , где и --- простые числа из , --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Тогда , где --- группа типа .

Пусть --- группа порядка такая, что имеет силовскую -подгруппу порядка . Пусть , где --- -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация. Тогда --- группа типа .

Пусть и --- нечетные простые числа, --- группа простого порядка , --- группа порядка . В существует элемент порядка , который действует нетривиально на и . Циклическую группу порядка превратим в группу операторов группы с помощью гомоморфизма с ядром порядка . Пусть . Очевидно, что и --- группы Миллера-Морено, а --- нильпотентная максимальная подгруппа. Пусть --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Тогда группа --- группа типа .

Пусть , , --- различные простые числа и порядок по модулю равен . Пусть --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Пусть --- группа из примера . Допустим, что существует неабелева группа автоморфизмов порядка группы . Тогда --- группа Миллера-Морено. Ясно, что группа --- группа типа . Эта ситуация реализуется, например, в случае , , .

Пусть --- группа простого порядка . Тогда имеет порядок , и можно подобрать так, что в ней найдется подгруппа порядка , где и --- различные простые числа. Рассмотрим группу . Подгруппа будет максимальной самонормализуемой подгруппой, а подгруппы и --- максимальными подгруппами Миллера-Морено. Пусть --- такая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, что . Тогда группа --- группа типа .

Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- не -нильпотентная -группа, у которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно. Тогда является группой одного из типов для некоторого .

Доказательство. Пусть не -нильпотентна. Тогда, по лемме 4.1.1, разрешима.

1. Допустим, что обладает не -нильпотентной -абнормальной максимальной подгруппой . По лемме, --- бипримарная группа Миллера-Морено, а значит, . Заметим еще, что , где --- минимальная нормальная подгруппа в .

1.1. Рассмотрим вначале случай . Тогда есть степень либо простого , либо . Пусть . Пусть ---силовская -подгруппа из , содержащая . Если не максимальна в , то , где --- некоторая -субнормальная в подгруппа. Тогда -субнормальна в , а значит, и в (напомним, что из следует, что ). Но тогда, по теореме, , противоречие. Значит, и . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как -абнормальна, то, по лемме, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Но --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому ясно, что не может быть -замкнутой группой. Таким образом, -нильпотентна. Если , то из и из условия вытекает, что существует -субнормальная в подгруппа такая, что . Так как , то , что противоречит равенству . Итак, мы должны рассмотреть только случай . Подгруппа является циклической и максимальна в . Поэтому очевидно, что максимальная подгруппа из нормальна в . Пусть ---минимальная нормальная подгруппа в . Так как --- минимальная нормальная подгруппа в , то --- -группа, не входящая в , а значит, . Так как максимальна и не нормальна в , то . Ясно теперь, что , а значит, нормальна в . Таким образом, получается, что , что противоречит равенству . Итак, теперь надо рассмотреть случай , т.е. --- силовская -подгруппа в , а --- минимальная нормальная подгруппа в . Допустим, что силовская -подгруппа из не равна 1. Так как , то . Тогда -нильпотентна, а значит, силовская -подгруппа из содержится в . Но это противоречит равенству . Итак, . По теореме Бернсайда, -нильпотентна и, значит, --- силовская -подгруппа в . Максимальная подгруппа из не максимальна в , поэтому для некоторой -субнормальной в подгруппы . Так как --- абелева -группа, то . Значит, оказывается -субнормальной в . По теореме, . Мы получаем, что --- группа типа .

1.2. Рассмотрим теперь случай . Тогда ясно, что --- холлова подгруппа в ; будем полагать, что делится на и . Пусть , и --- попарно перестановочные силовские подгруппы из такие, что . Так как и , то . Рассмотрим максимальную подгруппу из , содержащую . Если не максимальна в , то ввиду условия , где --- -субнормальная собственная подгруппа группы , а значит, , что противоречит равенству . Значит, максимальна в и поэтому , где , так как . Понятно, что содержащаяся в минимальная нормальная подгруппа группы совпадает либо с , либо с . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Так как --- группа Миллера-Морено, то холлова -подгруппа из нильпотентна. Таким образом, если , то -нильпотентна и . Если не максимальна в , то существует -субнормальная подгруппа такая. что . Тогда -субнормальна в , где --- формация всех -нильпотентных групп, а -нильпотентна по теореме , т.е. . Следовательно, если не нормальна в , то , максимальна в и . В любом случае, силовская -группа из нормальна в . Пусть --- еще одна максимальная подгруппа индекса . Тогда , так как циклическая. Понятно теперь, что и сопряжены. Итак --- группа типа .

2. Теперь будем полагать, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа группы -нильпотентна. Тогда --- группа одного из типов 1)-3) леммы Если --- группа типа 1), то доказывать нечего. Пусть --- группа типа 3), т.е. , , где , , , циклическая, а --- минимальная нормальная подгруппа в . Заметим, что -сверхразрешима. Пусть --- максимальная подгруппа группы . Если содержит и не содержит , то . Если содержит и , то . А если содержит , то и . Таким образом, имеет точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются , и . Значит, в этом случае группа --- группа типа . Пусть и --- минимальная нормальная подгруппа в . Рассмотрение этого случая разобьем на две части: и .

2.1. Пусть вначале . Пусть . Очевидно, . Предположим, что имеет максимальную подгруппу , являющуюся -субнормальной в . По теореме , . Очевидно, . Ясно, что любая максимальная подгруппа из , отличная от , не является -субнормальной в . Если циклическая, то --- группа типа . Поэтому считаем, что нециклическая. Пусть --- максимальная подгруппа из , отличная от . Рассмотрим подгруппу , являющуюся -субнормальной в . Так как не -субнормальна, то . Пусть --- -абнормальная максимальная подгруппа из . Так как , то --- степень , т.е. содержится в подгруппе, сопряженной с в . Будем считать, что . Силовская -подгруппа из нормальна в и в , т.е. нормальна в . Но ---минимальная нормальная подгруппа. Поэтому --- -группа, т.е. максимальна в . По лемме , каждая собственная подгруппа из будет -субнормальной в (мы применяем утверждение 2) леммы для случая ). Теперь, по лемме , является минимальной не -группой, откуда следует, что --- группа Миллера-Морено, т.е. --- группа типа . Предположим теперь. что любая максимальная подгруппа из не является -субнормальной в . Пусть --- максимальная подгруппа из , причем . Подгруппа не принадлежит , иначе была бы -субнормальной. Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Если не максимальна в , то строго содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Подгруппа не -нильпотентна, так как в противном случае , что противоречит тому, что не -субнормальна. Итак, , в существует не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа, . Но этот случай уже рассмотрен, т.е. --- группа типа . Таким образом, максимальная подгруппа из нормальна в . Рассмотрим группу , ее порядок равен . Понятно, что если и --- две различные подгруппы из , то , и значит, , так как каждая максимальная подгруппа из не нормальна в . Следовательно, --- группа Фробениуса с циклической подгруппой порядка . Так как , то получается, что циклическая. Так как --- единственная максимальная подгруппа, содержащая , то . Итак, --- группа типа .

2.2. Пусть теперь . По лемме, --- минимальная нормальная подгруппа группы . Если собственная подгруппа из не является максимальной в , то, по условию, существует -субнормальная в -группа , содержащая . По теореме , , а значит, . Итак, каждая собственная не максимальная подгруппа из поэлементно перестановочна с . Так как не -нильпотентна, то ясно, что силовская -подгруппа и силовская -подгруппа из не могут одновременно быть не максимальными в , т.е. либо обе они максимальны в , либо только одна из них максимальна в . Эти два случая мы рассмотрим.

2.2.1. Пусть максимальна в . Тогда, как отмечалось, нильпотентна, а ненильпотентна. Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в и, по условию, содержится в некоторой -субнормальной -подгруппе, которая, по теореме , будет поэлементно перестановочна с . Отсюда следует, что --- группа Миллера-Морено. Если нормальна в , то . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Каждая собственная подгруппа из , как отмечалось, поэлементно перестановочна с . Значит, каждая собственная подгруппа из будет -нильпотентна. Но . Поэтому не может быть группой Шмидта. Значит, -нильпотентна и . Значит, . Получается, что каждая максимальная подгруппа из нормальна в , т.е. нильпотентна. Итак, если нормальна в , то --- группа типа .

Пусть теперь не нормальна в . По теореме Бернсайда, -нильпотентна, т.е. . Учитывая, что нильпотентна, получаем, что нормальна в , т.е. оказывается группой типа .

2.2.2. Пусть теперь подгруппы и являются максимальными в . Тогда одна из них нормальна в . Пусть . Тогда . В этом случае , и --- максимальные подгруппы в . Если одна , нильпотентна, то --- группа типа . Предположим, что и не нильпотентны. Поскольку каждая собственная подгруппа из поэлементно перестановочна с , а подгруппа ненильпотентна, то является циклической. Но тогда , так как максимальна в сверхразрешимой подгруппе . Рассмотрим подгруппу . Так как , то . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в . Так как и , то -корадикал подгруппы является неединичной -группой. Ясно, что содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из , причем , так как самонормализуема в . Мы видим, что --- группа типа .

Возможны два случая: нормальна в и ненормальна в .

Пусть не нормальна в . Если , то --- группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой , что противоречит нашему допущению. Пусть , где , . Так как элементарная абелева, то существует такая -подгруппа , что . Мы видим, что --- группа типа , а сама --- группа типа .

Предположим теперь, что нормальна в , т.е. нильпотентна и имеет порядок . Очевидно, что в этом случае является группой Фробениуса с ядром , а --- группа типа , либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из , причем , так как самонормализуема в . Получается, что --- группа типа . В этом случае оказывается группой типа . Теорема доказана.

Таким образом, теоремы дают описание не -нильпотентных групп, у которых множество всех -субнормальных подгрупп плотно, где --- некоторая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп.

В случае, когда --- формация всех -нильпотентных групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.

Теорема остается новой в случае, когда --- формация всех нильпотентных -групп. В частности, при мы получаем результат В.В.Пылаева.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- формация всех -нильпотентных групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда силовская -подгруппа группы , где --- силовская подгруппа максимальной подгруппы группы , , является элементарной абелевой группой, утверждается, что , что в общем случае не верно.