Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых групп

курсовая работа

Описание конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп для формации сверхразрешимых групп

Пусть --- произвольная -замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп, --- несверхразрешимая группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда каждая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежит , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.

Доказательство. Предположим, что не -дисперсивна, где таково, что равносильно . Так как --- формация -дисперсивных групп, то, по лемме , лемма верна. Пусть теперь -дисперсивна. В этом случае лемма верна по лемме . Лемма доказана.

Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация сверхразрешимых групп, --- несверхразрешимая -группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда --- группа одного из следующих типов:

1) --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой , ;

2) , где , содержит такую абелеву подгруппу , нормальную в , что --- минимальная несверхразрешимая группа, являющаяся в максимальной подгруппой непростого индекса, подгруппа сверхразрешима, где --- любая максимальная подгруппа из ;

3) , , --- минимальная нормальная подгруппа группы , подгруппа , где --- произвольная максимальная подгруппа из , является либо сверхразрешимой, либо минимальной не -группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;

4) , , где --- минимальная нормальная подгруппа группы , , подгруппа , является либо минимальной несверхразрешимой группой, либо группой типа 2) из данной теоремы;

5) , , --- минимальная нормальная подгруппа из , --- абелева группа, и --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппа либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, где --- произвольная максимальная подгруппа из ;

6) , , где , --- минимальные нормальные подгруппы группы , , --- минимальная несверхразрешимая группа;

7) , ), где --- минимальная нормальная подгруппа группы , сверхразрешима, подгруппа , где --- произвольная максимальная подгруппа группы , либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) или 4) из данной теоремы;

8) , и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы , , , со следующими свойствами: , --- минимальные несверхразрешимые группы, подгруппы и принадлежат , где --- максимальная подгруппа из , --- максимальная подгруппа из ;

9) , и имеет точно четыре класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы , , , со следующими свойствами: сверхразрешима, --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы, , где --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо и является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы, , где --- максимальная подгруппа из , либо принадлежит , либо и является минимальной несверхразрешимой группой или группой типа 2) из данной теоремы.

Доказательство. По лемме, группа разрешима. Если группа не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа дисперсивна по Оре.

1. Рассмотрим вначале случай , где и --- различные простые числа. По лемме в группе любая -абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.

1.1. Пусть в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой и --- абелева группа. Так как , то либо , либо . Если предположить, что , то и . Поэтому немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Отсюда, по теореме , . Противоречие. Значит, , и . Из того, что группа дисперсивна по Оре, и , следует, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что и, значит, сверхразрешима. Следовательно, -субнормальна в и в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа сверхразрешима. Итак, в данном случае --- группа типа 2) из данной теоремы.

1.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .

Пусть вначале максимальна в . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если -субнормальна в , то, по теореме , . Предположим, что не -субнормальна в . Тогда содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Так как , то . Если , то, согласно лемме, --- минимальная не -группа. Пусть . Тогда и . Применяя теорему Машке, получаем, что и . Если , то . Противоречие. По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Если --- произвольная максимальная подгруппа из , то, ввиду леммы, -субнормальна в . Применяя теорему, получаем, что подгруппа . Значит, --- группа типа 2) из данной теоремы, а --- группа типа 3) из данной теоремы.

Пусть теперь немаксимальна в . Тогда, по лемме, содержится в качестве максимальной подгруппы в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Тогда группа представима в виде , где --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы имеет вид , где --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме , принадлежит формации . Получили, что группа --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда, по теореме Машке , . Ввиду следующего равенства получаем противоречие с тем, что . Итак, --- группа типа 1) из данной теоремы. Если же , то группа имеет вид и . Так как максимальна в , то . Рассмотрим подгруппу . Если , то -субнормальна в . Учитывая, что дисперсивна по Оре, по теореме , получаем, что . Противоречие. Каждая собственная подгруппа из будет немаксимальна в и, по лемме, -субнормальна в . Если максимальна в , то --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае --- группа типа 4) из данной теоремы. Если предположить, что не максимальна в , то она содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Получили, что и . Это значит, что . Противоречие с тем, что --- максимальная подгруппа в .

2. Рассмотрим случай , где , и --- различные простые числа. Согласно лемме, в группе либо все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.

2.1. Предположим, что в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Предположим, что . Так как , то и , . Применяя лемму и учитывая, что , получаем . Из того, что разрешима, следует, что либо , либо нормальна в . По теореме, в существует подгруппа . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Предположим, что . Тогда будет немаксимальна в и, по условию, найдется -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому , а это значит, что -субнормальна в . Тогда, по теореме , . Это значит, что . Ясно также, что и максимальна в . Тогда --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой --- абелева группа. Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Предположим, что . Так как либо , либо , то пусть для определенности . Из того, что , следует, что и . Имеем и --- минимальная нормальная подгруппа в , поэтому . Значит, подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Пусть --- произвольная подгруппа из , отличная от . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому . Отсюда следует, что -субнормальна в . Предположим, что . Согласно лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае --- группа типа 5). Пусть . Тогда , где --- -группа. Если , то, ввиду леммы , --- минимальная несверхразрешимая группа. Если , то, применяя теорему , получаем, что --- циклическая группа. Противоречие. Предположим, что . Тогда . Подгруппа самонормализуема в , так как в и , подгруппа является максимальной. Значит, --- группа Фробениуса с ядром и дополнительным множителем . По теореме , . Противоречие. Остается рассмотреть случай, когда . По теореме Машке , и . Отсюда получаем, что и . Противоречие. Значит, . Если , то проводя рассуждения, аналогично вышеизложенным, получаем, что либо принадлежит формации, либо является минимальной несверхразрешимой группой. Итак, --- группа типа 5) из данной теоремы.

Пусть теперь --- минимальная несверхразрешимая группа и . Так как , то , и . Предположим, что . По теореме , в существует подгруппа , содержащая . Так как , то и содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Предположим, что . Применяя лемму, получаем, что , а значит, . Подгруппа немаксимальна в , так как , и . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Отсюда следует, что -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Итак, --- минимальная несверхразрешимая группа. Так как , то . Приходим к случаю, рассмотренному выше, откуда следует, что в нет -абнормальных максимальных подгрупп, порядок которых делится на три различных простых числа. Итак, , и . Ясно, что и . Ввиду того, что группа дисперсивна по Оре, получаем, что --- наибольший простой делитель и , а значит, . Из следует, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует такая -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому сверхразрешима. Отсюда следует, что -субнормальна в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем, что подгруппа сверхразрешима. Следовательно, --- группа типа 2) из данной теоремы.

2.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме --- -группа. По лемме либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .

Пусть максимальна в . Так как , то . Согласно доказанному выше, получаем, что в этом случае группа типа 7) из данной теоремы.

Предположим теперь, что не максимальна в . Тогда , где --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы имеет вид , где --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме принадлежит формации . Получили, что группа --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда, по теореме Машке, . Ввиду следующего равенства получаем противоречие с тем, что . Итак, --- группа типа 1) из данной теоремы. Пусть теперь . В этом случае . Так как , то . Согласно лемме , подгруппы и будут -субнормальны в . Очевидно, что , . Поэтому и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда , где --- -группа и . Так как , то --- элементарная абелева группа. Значит, и --- минимальная несверхразрешимая группа. Следовательно, --- группа типа 6) из данной теоремы.

3. Рассмотрим случай , где , , и --- различные простые числа. Согласно лемме, в группе либо все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.

3.1. Предположим, в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа . По лемме, является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Так как , то и , . Отсюда получаем, что и . Применяя леммы и получаем, что . Рассмотрим подгруппу . Такая группа существует согласно теореме . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то и, согласно лемме, . Подгруппа немаксимальна в . Поэтому, по лемме , -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Следовательно, и, согласно лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа, у которой является минимальной нормальной подгруппой. Отсюда следует, что и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа циклическая согласно теореме. Поэтому --- абелева группа. Так как , то . Аналогично получаем, что коммутантом группы . является . Пусть . Легко видеть, что сверхразрешима. Ввиду теоремы, . Так как и , то и . Отсюда получаем, что . Значит, и . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует -субнормальная максимальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому принадлежит и -субнормальна в . Применяя теорему, получаем . Так как и --- циклические группы, согласно теоремы, то в два класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы и , где --- максимальная подгруппа из , --- максимальная подгруппа из . Значит, подгруппы вида и принадлежат , и --- группа типа 8) из данной теоремы.

3.2. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .

Предположим, что --- максимальная подгруппа в . В существует максимальная подгруппа , не -субнормальная в и . Рассмотрим подгруппу . Так как и , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то, по лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда . Если , то, по лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим теперь, что . Тогда , ввиду леммы. Подгруппа , поэтому, согласно теоремы Машке, и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа будет минимальной нормальной подгруппой группы , в противном случае в существует минимальная нормальная подгруппа , для которой и . Применяя лемму, получаем, что --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что в существует подгруппа такая, что --- минимальная несверхразрешимая группа. Значит, , и --- циклические группы. Последнее справедливо ввиду теоремы . По доказанному выше, может быть группой типа 2), 7) из данной теоремы. Если --- группа типа 7), то так как согласно лемме любая максимальная подгруппа из -субнормальна в , --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что подгруппа --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо является группой типа 2) из данной теоремы.

Так как подгруппа максимальна в и , то и . Из того, что все силовские подгруппы из циклические, следует, что в всего четыре класса максимальных сопряженных подгрупп. Так как и --- циклическая группа, то максимальная подгруппа из нормальна в . Подгруппа максимальна в . Рассмотрим теперь подгруппу . Если , то . Если предположить, что , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Пусть . Тогда максимальна в , причем --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак, . Пусть . Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.

Пусть , где --- максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если , то и, по доказанному, -субнормальна в . По теореме , . Пусть . Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.

Подгруппа , и циклические, поэтому в три класса максимальных сопряженных подгрупп и, значит, в три класса -нормальных максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы: , и . Группа в этом случае является группой типа 9) из данной теоремы.

Пусть теперь не максимальна в . Тогда , где . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Пусть . Тогда . Ввиду дисперсивности группы . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа. Если --- -число, то сверхразрешима. Предположим, что --- степень . Тогда . содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Значит, . Подгруппа максимальна в , так как в противном случае сверхразрешима. По лемме --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак, сверхразрешима. Ввиду произвольности выбора , получаем, что --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие.

4. Рассмотрим случай . Согласно лемме в группе -абнормальные максимальные подгруппы либо сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Если в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа , то и, ввиду разрешимости группы , . Противоречие. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если немаксимальна в , то, по доказанному выше, . Остается случай, когда --- максимальная подгруппа в . В этом случае и в найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Рассмотрим подгруппу . . Ввиду леммы, каждая собственная подгруппа из -субнормальна в . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то, по лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Противоречие. Значит, и максимальна в . По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда . Противоречие. Теорема доказана.

В случае, когда --- формация всех сверхразрешимых групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где --- формация всех сверхразрешимых групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда является холловой -абнормальной максимальной подгруппой, порядок которой делится на простое число , и холлова -подгруппа группы сверхразрешима, утверждается, что холлова -подгруппа из не максимальна в , что в общем случае не верно.

Делись добром ;)