Описанная сфера на олимпиадах и ЕГЭ

научная работа

2.1 Примеры олимпиадных заданий с пирамидой

Рис.6

Пример 1. В треугольной пирамиде SАВС ребро ВС равно а, АВ=АС, ребро SА перпендикулярно к основанию АВС пирамиды, двугранный угол при ребре SА равен 2б, а при ребре ВС равен в (рис. 6). Найти радиус описанного шара.

Решение. Рассмотрим пирамиду SАВС, о которой идет речь в условии задачи. Поскольку ребро SA перпендикулярно к плоскости основания, то ВАS=CAS = 90°, а потому угол ВАС как раз и является линейным углом двугранного угла при ребре SA. Таким образом, в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом 2б при вершине, а высота пирамиды совпадает с ребром SА.

Так как проекции боковых ребер SB и SС на плоскость основания равны, то и сами эти ребра равны. Поэтому грань ВSС -- равнобедренный треугольник, и его высота, опущенная из вершины S, попадает в середину К ребра ВС. По теореме о трех перпендикулярах АК -- высота треугольника ВАС. Отсюда ясно, что угол SКА -- линейный угол двугранного угла при ребре ВС, т. е. SКА = в.

Центр описанного шара лежит на пересечении прямой l, перпендикулярной к плоскости ВSС и проходящей через центр окружности, описанной около треугольника ВSС, с плоскостью, проходящей через середину ребра АS перпендикулярно к нему. Прямая l лежит в плоскости АSК: в самом деле, плоскость ВSС проходит через прямую ВС, перпендикулярную к плоскости АSК, т. е. плоскости ВSС и АSК перпендикулярны; в то же время прямая l перпендикулярна к плоскости ВSС и проходит через линию пересечения этих плоскостей, так что она лежит в плоскости АSК.

Итак, центр шара лежит в плоскости АSК. Вынесем эту плоскость на специальный чертеж. Центр шара О будет тогда лежать на пересечении прямой l и прямой m, перпендикулярной к АS и проходящей через его середину. Но, вообще говоря, могут представиться три возможности: прямые l и т пересекаются внутри, или вне треугольника АSК или на его стороне, и нам придется рассмотреть все эти возможности (см. рис. 7, 8, 9). Ниже, в ходе выкладок, мы покажем, что две из них на самом деле не осуществляются. Нас интересует радиус R описанного шара, т.е. расстояние от точки О -- точки пересечения перпендикуляров т и l к сторонам угла КSА -- до точки S, вершины этого угла. Прежде всего отыщем SL -- проекцию искомого расстояния на сторону SK треугольника KAS. Так как в треугольнике АКB (рис. 6) нам известен катет ВК=а и угол КАВ = б, то АК=а ctg б.

Рис. 7

Рис.8

Далее, из треугольника КАS имеем

SK= .

Так как L -- центр описанной около треугольника ВSС окружности, то LS=LВ, a потому из треугольника ВКL находим, что (SК-SL)2+КВ2=ВL2, т. е.

SL=.

Отметив, что проведенные вычисления отрезка SL никак не зависели от местоположения центра О описанного шара, вернемся к рис. 7, 8, 9. Обозначим через N точку пересечения прямой m со стороной SК. Ясно, что прямые l и т пересекаются вне треугольника КАS, если SN<SL (рис. 8); если же SN > SL, то точка О лежит внутри этого треугольника (рис. 7); наконец, если SN = SL, то точка О лежит на стороне SК этого треугольника (рис. 9). Выясним, какое из этих положений имеет место на самом деле.

Рис.9

Так как МN -- средняя линия треугольника КАS, то SN = SК. Сравнивая длины отрезков SN и SL, без труда докажем, что при любых а, б и

в

(из геометрических соображений следует, что а > 0, 0° < < 90° и 0° < в < 90°). Следовательно, каковы бы ни были размеры а, б и в пирамиды SАВС, центр О описанного шара всегда лежит вне пирамиды. Это в свою очередь означает, что вынесенная нами плоская конфигурация в плоскости КАS может иметь лишь вид, указанный на рис 8; расположения, изображенные на рис. 7 и 9, в действительности иметь места не могут. Рассматривая рис. 8, легко покажем, что = в, а потому LO = NL tgв = (SL--SN)tgв. Подставляя сюда полученные выше выражения для SL и SN, получаем после очевидных вычислений:

LО = а tgбsinв.

Наконец, из прямоугольного треугольника ОLS находим

R = =.

Как видим, выкладки в задаче оказались простыми -- главная трудность решения лежит в рассуждениях, устанавливающих положение центра описанного шара.

Ответ: R = .

Пример 2. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом ? при вершине. Найти объем пирамиды, а также боковую поверхность конуса, описанного около указанной пирамиды.

Рис.10

Решение. Пусть сторона основания пирамиды равна a, радиус основания конуса, описанного около этой пирамиды равен r, тогда (рис. 10). Грани пирамиды - равнобедренные треугольники. Тогда DK - высота, медиана и биссектриса ?ABD. Из прямоугольного треугольника ADK имеем . Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника AOD:

, .

DM - диаметр шара. Тогда в сечении шара, проходящем через диаметр DM и точку А, получим прямоугольный треугольник AMD. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем ,

откуда

Тогда площадь основания найдем по формуле:

.

И из формулы находим объем пирамиды:

.

Ребро AD по определению описанного конуса является его образующей. Тогда найдем боковую поверхность описанного конуса по формуле Sбок = ?rl:

.

Ответ: ; .

Пример 3. В основании пирамиды лежит квадрат со стороной а. Высота пирамиды проходит через середину одного из ребер основания и равна . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Рис.11

Решение. Типичной ошибкой при решении этой задачи является утверждение о том, что центр описанной сферы находится на грани SBC (рис. 11). В действительности положение точки О не связано с гранью SBC.

В силу равноудаленности точки О от вершин S, A, B, C, D следует, что OABCD - правильная четырехугольная пирамида. Следовательно, на грань ABCD точка О проектируется в точку М - точку пересечения диагоналей. Треугольник ASD равнобедренный, тогда высота пирамиды SK является медианой треугольника ASD, . Из прямоугольного треугольника SAK найдем SA:

,

Следовательно, треугольник SAD - равносторонний и OASD - правильная треугольная пирамида. Тогда точка О проектируется на грань SAD в центр треугольника SAD . Отсюда

, .

Из треугольника SON находим искомый радиус SO,

, .

Ответ: .

Пример 4. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная усечённая пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60. Определить объём пирамиды.

Рис.12

Решение. По условию, OAA1 = 60 (рис. 12); значит,

О1ОА1=30 и А1О1 = А1О = , OO1 = .

Находим

Sнижн.осн.= 6, Sверхн. осн.= нижн. осн..

Окончательно получим

.

Ответ:

Делись добром ;)