Ориентация прямой, плоскости в пространстве

контрольная работа

4. Стороны прямой на плоскости и плоскости в пространстве

Как известно, любая прямая а на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости: точки А и В плоскости, не принадлежащие прямой , тогда и только тогда принадлежат одной полуплоскости, когда отрезок не пересекает прямую .

Аналогично, любая плоскость П в пространстве разбивает пространство на два полупространства, причем две точки А, В, не принадлежащие плоскости, тогда и только и тогда принадлежат одному полупространству, когда отрезок не пересекает плоскость.

Определение 1. Говорят, что у прямой в плоскости (или у плоскости П в пространстве) выбрана сторона, если выбрана одна из полуплоскостей, на которые прямая разбивает плоскость (соответственно, если выбрано одно из полупространств, на которые плоскость П разбивает пространство). Выбранная полуплоскость (полупространство) или соответствующая сторона называется при этом положительной, а другая полуплоскость (полупространство) -- отрицательной.

Пусть е -- произвольный вектор, не параллельный прямой а (плоскости П). Выбрав на прямой б (плоскости П) произвольную точку О, отложим от нее вектор , т. е. построим направленный отрезок = е. Если точка Е окажется при этом в положительной полуплоскости (положительном полупространстве), то мы будем говорить, что вектор направлен в положительную сторону прямой б(плоскости П). Это определение нуждается, конечно, в проверке, корректности, т. е. в доказательстве независимости полуплоскости (полупространства), содержащей точку Е, от выбора точки О. Другими словами, мы должны доказать, что если для точек О и О прямой а (плоскости П) и точек Е и Е, не принадлежащих этой прямой (этой плоскости), имеет место равенство = , то точки Е и Е принадлежат одной полуплоскости(одному полупространству).

Пусть это не так, т. е. пусть отрезок пересекается с прямой б (плоскостью П). Ясно, что это возможно тогда и только тогда, когда прямые OO и ЕЕ пересекаются. С другой стороны, поскольку векторы и равны, эти прямые должны быть параллельны (причем совпадать они не могут). Полученное противоречие доказывает, что точки Еи Е принадлежат одной и той же полуплоскости (полупространству).

Предложение 1. Пусть е и е-- два коллинеарных вектора, не параллельных прямой б (плоскости П), и пусть вектор направлен в положительную сторону прямой б(плоскости П). Вектор тогда и только тогда обладает тем же свойством, когда отношение е: е положительно.

Доказательство. Пусть е = и е= , где О-- некоторая точка прямой (плоскости П). Точки Еи Е тогда и только тогда лежат в разных полуплоскостях (полупространствах), когда отрезок ЕЕ пересекается с прямой (плоскостью П). Но прямая ЕЕ имеет с прямой б (плоскостью П) одну-единственную точку пересечения О. Следовательно, точки Еи Е тогда и только тогда лежат в разных полуплоскостях (полупространствах), когда отрезок содержит точку О, т. е. когда (в ориентации прямой ЕЕ, в которой Е<Е). Для завершения доказательства осталось заметить, что Е<О< Е тогда и только тогда, когда отношение е: е отрицательно.

Определение 2. Мы будем говорить, что ориентированная прямая направлена в положительную сторону прямой (плоскости П), если ее положительно ориентированный вектор направлен в положительную сторону прямой (плоскости П).

Согласно предложению 1 это определение корректно.

Если в одной ориентации прямая направлена в положительную сторону прямой (плоскости П), то в другой ориентации она будет направлена, очевидно, в отрицательную сторону. Это означает, что выбор на прямой б (плоскости П) положительной стороны определяет на каждой прямой , не параллельной прямой б (плоскости П), некоторую ориентацию, а именно, ориентацию, в которой эта прямая направлена в положительную сторону прямой (плоскости П).

Другими словами, ориентацию прямой на плоскости или в пространстве можно определить как выбор стороны на некоторой прямой (плоскости), не параллельной данной прямой.

Поскольку ориентации непараллельных прямых, лежащих в одной плоскости, определяют некоторую ориентацию плоскости и поскольку, согласно только что сказанному, ориентация прямой определяется заданием стороны прямой , мы получаем, что для задания ориентации плоскости достаточно задать в этой плоскости ориентированную прямую и некоторую ее сторону.

Обратно, для задания ориентации прямой достаточно задать некоторую ориентацию плоскости, содержащей эту прямую, и одну из сторон этой прямой в плоскости.

Аналогично, для задания ориентации пространства достаточно задать ориентированную плоскость и некоторую ее сторону, а для задания ориентации плоскости достаточно задать ориентацию пространства и некоторую сторону этой плоскости.

Так же можно сказать что, задание ориентации на одной прямой автоматически определяет ориентацию на любой другой параллельной прямой.

Другими словами, это означает, что ориентации параллельных прямых можно сравнивать, т. е. можно говорить о том, совпадают они или нет.

Делись добром ;)