Векторные поля
4. Дивергенция векторного поля
Дивиргенция (или расходимость) векторного поля в точке М -- это предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность окружающую точку М, в направлении ее внешней нормали к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что вся поверхность , стягивается в точку М:
(1)
Основные свойства дивергенции:
1. -- это дифференциальная характеристика поля, является скалярной величиной.
2.В каждой точке М поля показывает наличие источников или стоков поля:
если , то в точке М есть источник поля , при этом значение численно равно мощности источника;
если , то в точке М есть сток поля при этом значение численно равно мощности стока;
если , то в точке М нет ни источника, ни стока поля
3. вычисляется по формуле:
Воспользуемся формулой Остроградского--Гаусса, связывающей интеграл по замкнутой поверхности с интегралом по объёму, ограниченному этой поверхностью:
Применяем теорему о среднем к тройному интегралу:
где М1 -- это некоторая фиксированная точка в объёме, ограниченном замкнутой поверхностью (у),
-величина этого объёма.
Теперь используем определение (1) дивергенции:
Так как при точка M1стремится к точке M. V
4. Если использовать понятие дивергенции, то теорема Остроградского-Гаусса в векторной форме:
то есть поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.
Так как можно рассматривать как плотность распределения источников и стоков векторного поля то тройной интеграл
равен суммарной мощности источников и стоков по объему .
Учитывая это, смысл теоремы Остроградского-Гаусса в форме (3) можно сформулировать следующим образом: поток векторного поля изнутри замкнутой поверхности равен суммарной мощности источников и стоков этого поля, заключенных в объеме , ограниченном этой поверхностью .
Следовательно, если поток равен 0, то внутри поверхности нет источников и стоков поля или они уравновешивают друг друга.
5. Линейность дивергенции:
Это следует из линейности операций сложения векторов и дифференцирования.
6. Дивергенция произведения скалярного поля на векторное поле вычисляется по формуле:
Примеры 1 (вычисление дивергенции векторного поля)
Дано -- поле радиус-вектора точки . Вычислить
Решение
3
то есть каждая точка М этого поля является источником постоянной мощности, равной 3.
Вычислить и объяснить смысл ее значения, если
Решение
10,25
Значение указывает на то, что в заданной точке есть источник векторного поля и мощность этого источника равна 10,25.
По рассмотренному примеру можно заметить, что любое векторное поле сопровождается скалярным полем его дивергенций.