Основні властивості простору Соболєва
1.2 Простір
Розглянемо на відрізку простір який складається із усіляких функцій безупинно диференцюємих на зі скалярним добутком
(1.2)
і відповідному цьому скалярному добутку нормою
(1.3)
є поповненням у цій нормі. Елементами відповідно до теореми про поповнення, є класи, що складаються з послідовностей фундаментальних в у середньому, точніше, таких, що
при
Дві такі послідовності й належать одному класу, якщо є нескінченно малою по нормі тобто, якщо
при
З умови фундаментальності в середньому в треба, що окремо при
Аналогічно, з умови еквівалентності й по нормі треба, що при
Відповідно до визначення простору існують функції й такі, що при а в середньому.
Ми приходимо до наступного найважливішого визначення. Нехай Тоді у визначені елемент із представником і елемент із представником називається узагальненій похідній (у змісті Соболєва) від При цьому пишуть:
З визначення узагальненій похідній видно, що вона визначається не локально, в окремих крапках, а глобально - відразу на всім відрізку Нехай так що Перейдемо до межі при в рівностях
(1.4)
(1.5)
і, відповідно до теореми про поповнення й визначення інтеграла Лебега, прийдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальненому змісті, а інтеграл - у змісті Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й потрібно користуватися формулами (1.4) і (1.5), взявши досить велике тобто замість ідеальних елементів скористатися їхніми гладкими наближеннями