Основні властивості простору Соболєва

реферат

1.2 Простір

Розглянемо на відрізку простір який складається із усіляких функцій безупинно диференцюємих на зі скалярним добутком

(1.2)

і відповідному цьому скалярному добутку нормою

(1.3)

є поповненням у цій нормі. Елементами відповідно до теореми про поповнення, є класи, що складаються з послідовностей фундаментальних в у середньому, точніше, таких, що

при

Дві такі послідовності й належать одному класу, якщо є нескінченно малою по нормі тобто, якщо

при

З умови фундаментальності в середньому в треба, що окремо при

Аналогічно, з умови еквівалентності й по нормі треба, що при

Відповідно до визначення простору існують функції й такі, що при а в середньому.

Ми приходимо до наступного найважливішого визначення. Нехай Тоді у визначені елемент із представником і елемент із представником називається узагальненій похідній (у змісті Соболєва) від При цьому пишуть:

З визначення узагальненій похідній видно, що вона визначається не локально, в окремих крапках, а глобально - відразу на всім відрізку Нехай так що Перейдемо до межі при в рівностях

(1.4)

(1.5)

і, відповідно до теореми про поповнення й визначення інтеграла Лебега, прийдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальненому змісті, а інтеграл - у змісті Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й потрібно користуватися формулами (1.4) і (1.5), взявши досить велике тобто замість ідеальних елементів скористатися їхніми гладкими наближеннями

Делись добром ;)