Основні положення теорії інверсії. Рішення задач
1.1 Загальні відомості про комплексну площину
Задамо на площині прямокутну декартову систему координат 0xy. Тоді кожному комплексному числу z, представленому в алгебраїчній формі , можна однозначно поставити у відповідність крапку М площини з координатами . Комплексне число z називають комплексною координатою відповідної крапки М и пишуть: .
Отже, множина крапок евклідової площини перебуває у взаємно однозначній відповідності із множиною комплексних чисел. Цю площину називають площиною комплексних чисел.
Всі необхідні відомості про цю площину дуже добре дані в книзі Я. П. Понарина [3]. Тут приведемо лише деякі формули, узяті з того ж джерела, використані в роботі.
Відстань між двома крапками з координатами а й b дорівнює .
Рівняння прямої в канонічній формі: , .
Рівняння окружності із центром у крапці s і радіусом r: . Також часто використовують запис , , , де центр , радіус .
Скалярний добуток векторів: .
Колиніарність трьох крапок з координатами а, b і з: .
Критерій колиніарності векторів: .
Відстань від крапки з координатою z0 до прямій , : .
Критерій паралельності двох прямих і , заданих у канонічній формі: .
Критерій перпендикулярності двох прямих і , заданих у канонічній формі: .
Подвійне відношення чотирьох крапок площини з координатами а, b, с и d: ; аргумент w дорівнює орієнтованому куту між окружностями abc і abd.
Критерій приналежності чотирьох крапок однієї окружності або прямій: .
Критерій ортогональності окружностей , і , : .
Паралельний перенос на вектор з координатою : .
Гомотетія із центром s і коефіцієнтом : , .
Осьова симетрія з віссю симетрії , де : .
Центральна симетрія із центром : .