Основні положення теорії інверсії. Рішення задач

дипломная работа

1.6 Властивості узагальненої інверсії

1є. При узагальненій інверсії із центром О и ступенем k внутрішні крапки окружності У(О, ) (окружність інверсії, якщо k позитивно) переходять у зовнішні й навпаки (тому говорять також про дзеркальне відображення щодо окружності).

? Для центра інверсії й нескінченно вилученої області це очевидно. Для інших крапок при інверсії з позитивним ступенем це було доведено вище, у теоремі 2. А тому що інверсію з негативним ступенем можна представити як комутативну композицію інверсії з позитивним ступенем і центральної симетрії із центром на початку інверсії, те й для неї все очевидно. :

2?. Перетворення площини, що представляє собою послідовно виконану двічі ту саму інверсію, є тотожне перетворення

Треба з інволютивності перетворення інверсії. :

3є. Дві фігури, інверсні третій фігурі щодо того самого центра ПРО, гомотетичні.

? Дійсно, нехай М - крапка фігури F, М1 і М2 - крапки, що відповідають їй у двох інверсіях із загальним центром О и коефіцієнтами k1 і k2. Без обмеження спільності міркувань можна розглянути інверсію із центром на початку координат. Тоді, якщо крапки М, М1 і М2 будуть мати координати m, m1 і m2 відповідно, те, . Зауважуємо, що друга крапка отримана з першої при гомотетії з рівнянням . :

Ми бачимо, що вибір ступеня інверсії не впливає на форму отриманих фігур. Ця форма змінюється тільки при зміні центра інверсії.

4є. Залежність відстані між образами A і B двох крапок А и В від відстані між цими крапками при інверсії із центром S і ступенем k виражається у формулі .

? Інверсія задається формулою . Тоді . Звідси = = = . А це й означає . :

Інверсія зберігає величину кута між окружностями, а також між окружністю й прямою, між двома прямими, але змінює його орієнтацію на протилежну.

Нехай задані дві окружності (пряма й окружність, дві прямі), одна й з яких проходить через крапки A, B, C, а інша - через крапки A, B, D. Беремо крапки «гарні», тобто серед них немає нескінченно вилученої й нульовий, тому що ми будемо брати інверсію із центром у нулі. Якщо задані дві прямі, уважаємо А = В. Якщо A, B, C, D - образи цих крапок при інверсії , то їхнє подвійне відношення w дорівнює числу, комплексно сполученому подвійному відношенню w крапок A, B, C, D:

.

Відповідно до геометричного змісту аргументу подвійного відношення, він дорівнює орієнтованому куту між окружностями (прямою й окружністю, двома прямими) ABC і ABD, але . :

Наслідок 1. Інверсія зберігає подвійне відношення відстаней між крапками, кожна з яких не збігається із центром інверсії й з нескінченно вилученою крапкою.

? Помітимо, що . Із цього треба, що інверсія зберігає подвійне відношення відстаней між крапками, кожна з яких не збігається із центром інверсії й з нескінченно вилученою крапкою.

Для інших наборів крапок це твердження, загалом кажучи, невірно. Наприклад, будемо припускати, що всі чотири крапки різні. Якщо центр інверсії збігається, скажемо, із крапкою А, те, при нерівності інших крапок нескінченно вилученої, одержуємо відношення , що не має змісту. Якщо ж А збігається з нескінченно вилученою крапкою, то одержимо - теж нема рації. :

Наслідок 2. Дві крапки і їхні образи при інверсії лежать на одній окружності або одній прямій.

? Не обмежуючи спільності міркувань, розглянемо інверсію . Нехай крапки А(a) і В(b) переходять при інверсії в крапки А(a) і В(b). Тоді координати образів будуть і відповідно. Якщо подвійне відношення їх речовинне, то все доведено.

тобто вони дійсно лежать або на одній окружності, або на одній прямій.

Щоб вони лежали на прямій, потрібно зажадати, щоб крапки А и В були колиніарні із центром інверсії, причому кожна із крапок навіть може збігатися із центром інверсії або нескінченно вилученою крапкою. :

Наслідок 3. Дотичні окружності або дотичну окружність і пряма переходять при інверсії в дотичні окружності або дотичну окружність і пряму, якщо тільки крапка торкання не збігається із центром інверсії, інакше вони переходять у паралельні прямі.

Кут між дотичною окружністю й прямою або дотичними окружностями дорівнює 0?. Якщо крапка торкання не збігається із центром інверсії, то окружності переходять у дві окружності, якщо центр інверсії не на одній з окружностей, у противному випадку в окружність і пряму. Кут зберігається, виходить, все вірно.

Якщо ж крапка торкання збігається із центром інверсії, то окружність переходить у пряму, що не проходить через центр інверсії, а пряма переходить сама в себе. Кут між прямими зберігається й дорівнює 0?, тобто вони дійсно паралельні. :

Визначення 7. Пряма називається дотичній до кривої в крапці М0, якщо для довільної крапки кривій М відстань від М до прямої прагне до нуля швидше, ніж від М до М0, коли M М0, тобто , де Р - це проекція крапки М на пряму.

Визначення 8. Окружність називається дотичній до кривої в крапці М0, якщо дотична до окружності в цій крапці є й дотичній до кривої в цій крапці.

Визначення 9. Кутом між двома кривими в їхній загальній крапці називається кут між дотичними до цих кривих у розглянутій крапці.

Якщо криві не мають загальних крапок, або хоча б одна з них не має дотичній у загальній крапці, то кут між кривими не визначений.

Очевидно, що кут між двома кривими в їхній загальній крапці також можна визначити як кут між дотичними окружностями (дотичній окружністю й прямою) до цих кривих у розглянутій крапці.

Визначення 10. Усяке перетворення, при якому зберігаються кути між кривими, називається конформним перетворенням.

Наслідок 4. Інверсія є конформне перетворення.

? Лема. Нехай дана окружність із центром s і крапка m0 на ній. Тоді пряма, що проходить через цю крапку й стосується даної окружності, буде мати рівняння .

_ Шукана дотична перпендикулярна прямій, що проходить через s і m0, і сама проходить через m0.

Перенесемо центр координат у крапку m0, тобто застосуємо паралельний перенос, що буде мати рівняння . Пряма, що проходить через s-m0 і 0, буде мати рівняння , або в канонічній формі . Будь-яка пряма, що проходить через 0, буде мати рівняння . Щоб вона була перпендикулярна прямій , потрібно, щоб . Тобто можна взяти . Виходить, шукана пряма буде мати рівняння . Переводимо у вихідні координати: . ?

Нехай нам дані криві і , що мають загальну крапку з координатою m0, і нехай кожна з них має дотичну в цій крапці - l і p відповідно. Нехай при деякій інверсії криві і перейдуть у криві і , прямі l і p - у прямі або окружності l і p. Всі фігури будуть проходити через крапку з координатою m0. Кут між останніми, по властивості 5, збережеться, так що залишається показати, що вони будуть дотичними до кривих і у крапці з координатою m0.

Отже, для доказу досить показати, що якщо дано криву і дотична l до неї в крапці з координатою m0, то l буде також дотичній до у крапці з координатою m0.

Пряма l буде дотичній до кривої в крапці М0 при , де Р - це проекція крапки М на пряму l, М - крапка кривій .

Виконаємо інверсію I, нехай її ступінь дорівнює k, а центр s не в крапці М0. Помістимо початок координат в s, і рівняння інверсії буде . Також направимо дійсну вісь через крапку М0. Якщо рівняння l , , то рівняння l буде , .

Помітимо, що за умовою виконується .

Якщо l - окружність, то дотична до неї в крапці М0 буде, по лемі, мати рівняння . У силу рівності одержуємо .

Покажемо, що вона буде дотичній і до у крапці М0, тобто , де Q - це проекція крапки М на цю пряму, М - крапка кривій .

Із властивості 4 маємо: . Звідси треба, що . Дійсно, = = 0. Також = = 0.

Тоді .

По відомих нерівностях , і одержуємо: + = + .

Розглянута межа обмежена ліворуч нулем, а праворуч межею = + = 0 + .

Але ми брали m0 дійсним числом, тому . Виходить, доказуваний межа дорівнює нулю, якщо l - окружність.

Якщо l - пряма, то її рівняння збіжиться із прообразом: . Тоді нам уже дана рівність . Покажемо, що сама пряма буде дотичній до у крапці М0. Дійсно, , а ця межа нам даний.

Ми прийшли до висновку, що коли центр інверсії не лежить у розглянутій крапці, то кут між кривими зберігається.

Якщо ж взяти центр інверсії в крапці М0, то остання відобразиться в нескінченно вилучену область. Дотичні l і p перейдуть самі в себе й за згодою про нескінченно вилучену область будуть стосуватися кривих і у невласній крапці М0. Можна визначити кут між ними в невласній крапці як наявний кут між ними. :

Наслідок 5. Парне число інверсій не міняє кута між кривими, непарне число міняє напрямок кута на протилежне.

6?. Кожні дві окружності або пряму й окружність можна за допомогою інверсії перевести у дві прямі (пересічні або паралельні) або у дві концентричні окружності.

? Якщо дані окружності або окружність і пряма стосуються, то при центрі інверсії в крапці торкання переходять у дві паралельні прямі (наслідок 4).

Нехай дані дві не дотичні окружності дійсного радіуса. Якщо вони перетинаються, то, взявши за центр інверсії одну із крапок перетинання, одержимо дві пересічні прямі (вони будуть перетинатися по образі другої крапки перетинання).

Нехай окружності не перетинаються. Якщо вони вже концентричні, то існує дві інверсії, що переводять їх одна в іншу. Якщо ж вони не концентричні, то у дві прямі вони перейти не можуть, тому що тоді центр інверсії повинен розташовуватися одночасно на обох, що неможливо. Спробуємо їх перевести у дві концентричні окружності.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Уведемо систему координат таким чином, що центри окружностей лежать на дійсній осі, причому центр однієї з них збігається з початком координат, і радіус цієї окружності дорівнює 1.

Центр інверсії лежить також на дійсній осі. Дійсно, центр інверсії, центр образа першої окружності й центр її ж лежать на одній прямій. Але тоді центр другої окружності лежить там же. А центри обох окружностей належать дійсній осі.

Нехай координати перетинання другої окружності з дійсною віссю рівні а1 і а2, у першої окружності це будуть крапки з координатами -1 і 1. Нехай на осі дана крапка О с координатою s. Тоді при інверсії із центром у крапці О и ступенем k будуть виконуватися рівності: , , і . Але крапки лежать на дійсній осі, тому вірно , , .

Отримані окружності концентричні, якщо . Тобто , що рівносильне , звідки одержуємо рівносильне рівняння відносно s: , де s не збігається з розглянутими чотирма крапками.

= . Виходить, дискримінант позитивний у точності тоді, коли окружності не перетинаються. Це й доводить існування потрібної інверсії, причому їх буде дві. Також потрібно помітити, що ступінь інверсії погоди не робить.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нехай тепер дані не дотичну окружність і пряма. Якщо вони не перетинаються, то, взявши центр інверсії на прямій або окружності, одержимо при інверсії пряму й окружність. Не підходить. Якщо візьмемо центр інверсії поза прямій і окружності, то одержимо дві окружності. Спробуємо знайти інверсію, при якій вони концентричні.

Уведемо систему координат таким чином, що пряма буде мнимою віссю, а центр окружності лежить на дійсній осі й координата однієї із крапок перетинання окружності у віссю дорівнює 1, а друга крапка перетинання має позитивну координату а.

Візьмемо крапку на дійсній осі, не приналежній даній прямій і окружності, нехай її координата дорівнює s. Проведемо інверсію із центром у цій крапці й ступенем k. Якщо вона переведе фігури в концентричні окружності, то аналогічно це тільки тоді, коли виконується рівність , тобто , або , звідки, після приведення подібних, одержуємо . Тому що знаменник свідомо не дорівнює нулю, оскільки ми так брали s, те одержуємо , звідки, у силу позитивності а, . Отже, така інверсія існує.

Якщо ж пряма й окружність перетинаються, то, взявши за центр інверсії одну із крапок перетинання, одержимо дві прямі. Вони будуть перетинатися в образі другої крапки перетинання. :

7є. При інверсії із центром sI і ступенем k окружність із центром s радіуса r, що не збігає з окружністю інверсії (якщо ступінь позитивний), відображається в себе тоді й тільки тоді, коли виконується рівність .

? Перенесемо початок координат у центр інверсії паралельним переносом , і інверсія тоді буде задана формулою . Координата центра окружності стане , для зручності надалі будемо опускати цей штрих. Тоді рівняння окружності буде . Зрозуміло, що центр інверсії не лежить на окружності, інакше вона взагалі перейде в пряму. Це міркування дає нам . Окружність інверсією переводиться в , або , тобто . Тому що центр інверсії не на окружності, те це рівносильне . Це буде та ж сама окружність за умови, що .

Нас цікавить тільки друга умова сукупності. До речі, воно при дає умову ортогональності окружності інверсії й нашої окружності. Так попутно ми довели, що якщо окружність перпендикулярна окружності інверсії позитивного ступеня, то вона при цій інверсії переходить сама в себе.

При переході до вихідних координат одержуємо . :

Делись добром ;)