Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности многомерного временного ряда
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ
Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упорядоченную во времени, хотя возможно упорядочение и какому-то другому параметру.
Совокупность функций вида
назовём r-компонентным векторным временным рядом (r-мерным временным рядом).
Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.
Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.
Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.
Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.
Аргумент чаще всего интерпретируется как время, хотя при решении практических задач он может иметь и другое смысловое значение.
При каждом фиксированном , , - множество случайных величин.
Если в определении случайного процесса , , , то =называется -мерным случайным полем.
Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.
Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида
, .
Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида
, .
Корреляционной функцией случайного процесса , , называется функция вида
, .
Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида
.
Заметим, что если , то , .
Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
, , .
Заметим, что
, .
Пусть - значения случайного процесса в точках .
Смешанный момент го порядка, , можно также определить как
, , .
Смешанным семиинвариантом ( кумулянтом ) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
, , ,
которую также будем обозначать как .
Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид
(1.1)
(1.2)
суммирование по всевозможным разбиениям множества .
Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида
=, ,
при условии, что
.
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.
Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида
=, ,
при условии, что
.
Лемма 1. Для любого целого справедливо соотношение
(1.3)
Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления
, (1.4)
Доказательство. Домножая обе части соотношения (1.1) на
, ,
и интегрируя обе части полученного неравенства по на , получим
.
Используя лемму 1, получим при требуемый результат. Теорема доказана.
Лемма 2. Если функция интегрируема и периодична с периодом , то для любого действительного имеет место соотношение
Доказательство. Предположим, что >0. Можно записать
В третьем слагаемом правой части последнего равенства сделаем замену переменных интегрирования и, учитывая периодичность с периодом функции , получаем требуемое. Случай, когда <0, доказывается аналогично. Лемма доказана.
Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида
=, ,
при условии, что
.
Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.