Оценивание смещения статистики взаимной спектральной плотности многомерного временного ряда

курсовая работа

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАБОТЕ

Временным рядом называют последовательность наблюдений, обычно упорядоченную во времени, хотя возможно упорядочение и какому-то другому параметру.

Совокупность функций вида

назовём r-компонентным векторным временным рядом (r-мерным временным рядом).

Переменная t обычно соответствует времени выполнения или регистрации наблюдений и измерений.

Действительным случайным процессом = называется семейство случайных величин, заданных на вероятностном пространстве , где , , - некоторое параметрическое множество.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с дискретным временем.

Если , или подмножество из , то говорят, что , - случайный процесс с непрерывным временем.

Аргумент чаще всего интерпретируется как время, хотя при решении практических задач он может иметь и другое смысловое значение.

При каждом фиксированном , , - множество случайных величин.

Если в определении случайного процесса , , , то =называется -мерным случайным полем.

Введем характеристики случайного процесса , , во временной области.

Математическим ожиданием случайного процесса , , называется функция вида

, .

Дисперсией случайного процесса , , называется функция вида

, .

Корреляционной функцией случайного процесса , , называется функция вида

, .

Ковариационной функцией случайного процесса , , называется функция вида

.

Заметим, что если , то , .

Смешанным моментом го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , .

Заметим, что

, .

Пусть - значения случайного процесса в точках .

Смешанный момент го порядка, , можно также определить как

, , .

Смешанным семиинвариантом ( кумулянтом ) го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

, , ,

которую также будем обозначать как .

Между смешанными моментами и смешанными семиинвариантами го порядка, , существуют связывающие их соотношения, которые имеют вид

(1.1)

(1.2)

суммирование по всевозможным разбиениям множества .

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Семиинвариантной спектральной плотностью го порядка, , случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

Лемма 1. Для любого целого справедливо соотношение

(1.3)

Теорема 1. Для смешанного семиинварианта го порядка, , случайного процесса справедливы представления

, (1.4)

Доказательство. Домножая обе части соотношения (1.1) на

, ,

и интегрируя обе части полученного неравенства по на , получим

.

Используя лемму 1, получим при требуемый результат. Теорема доказана.

Лемма 2. Если функция интегрируема и периодична с периодом , то для любого действительного имеет место соотношение

Доказательство. Предположим, что >0. Можно записать

В третьем слагаемом правой части последнего равенства сделаем замену переменных интегрирования и, учитывая периодичность с периодом функции , получаем требуемое. Случай, когда <0, доказывается аналогично. Лемма доказана.

Спектральной плотностью случайного процесса , , называется функция вида

=, ,

при условии, что

.

Из определения видно, что спектральная плотность непрерывная, периодическая функция с периодом, равным по каждому из аргументов.

Делись добром ;)