Оценка периметра многоугольника заданного диаметра

дипломная работа

1.1 Задачи

Задача №1.1.1. Докажите, что пересечение двух или нескольких выпуклых фигур есть выпуклая фигура.

Задача №1.1.2. Докажите, что всякий выпуклый многоугольник является пересечением конечного числа полуплоскостей (рис.1.1.24). [8, 14]

Рис. 1.1.24

Задача №1.1.3. Докажите, что

а) если А и В -- внутренние точки выпуклой фигуры Ф, то все точки отрезка АВ -- внутренние точки Ф;

б) если А -- внутренняя, а В -- граничная точка выпуклой фигуры Ф, то все точки отрезка АВ, кроме В,-- внутренние точки Ф;

в) если А и В--граничные точки выпуклой фигуры Ф, то либо все точки отрезка АВ -- граничные точки Ф, либо все точки отрезка АВ, кроме А и В,-- внутренние точки Ф.

Задача №1.1.4. Докажите, что всякая прямая, проведенная через внутреннюю точку выпуклой фигуры, пересекает ее границу не более, чем в двух точках. Если выпуклая фигура ограничена, то каждая прямая, проходящая через какую-либо ее внутреннюю точку, пересекает границу фигуры ровно в двух точках.

Задача №1.1.5. Докажите, что если всякая прямая, проходящая через любую внутреннюю точку ограниченной фигуры, пересекает ее границу в двух точках, то фигура выпукла. [8, 15]

Задача №1.1.6. Докажите, что каждая из двух параллельных опорных прямых, расстояние между которыми имеет наибольшее возможное значение, содержит единственную точку границы фигуры и что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен к обеим опорным прямым (рис. 1.1.25). [8, 20]

Рис. 1.1.25

Задача №1.1.7. Докажите, что наибольшее расстояние между двумя точками выпуклой фигуры совпадает с наибольшим расстоянием между парой параллельных опорных прямых.

Задача №1.1.8. Докажите, что если А и В -- две точки выпуклой фигуры Ф, расстояние d между которыми имеет наибольшее значение, то прямые, проведенные через точки А и В перпендикулярно к отрезку АВ, являются опорными прямыми Ф. [8, 21]

Делись добром ;)