Оцінювання розподілу малої вибірки

дипломная работа

1.2 Емпірична функція розподілу

Означення. Нехай - вибірка з неперервного розподілу F. Функцію , визначену на рівністю

(1.2.1)

будемо називати емпіричною функцією розподілу. як функція випадкового вектора є випадковою величиною; тому також є функцією , тобто .

Для кожного фіксованого х емпірична функція розподілу є незміщеною та спроможною оцінкою значення функції розподілу .

Надалі буде зручно розглядати вибіркові значення , розташовані в порядку зростання: , тобто - найменше серед значень ; - друге за величиною і т. д.; - найбільше з можливих значень .

Означення. Послідовність , будемо називати варіаційним рядом послідовності , а , - порядковими статистиками.

У термінах порядкових статистик емпіричну функцію розподілу можна подати у вигляді

(1.2.2)

Безпосередньо з рівності (1.2.2) знайдемо, що при фіксованому значення в кожній точці х відрізка , оскільки кількість таких , для яких , дорівнює нулеві; у кожній точці відрізка , тому що кількість тих , при яких , дорівнює 1 і т. д.; нарешті, для кожного х з відрізка .

Із вищенаведеного випливає, що для кожного фіксованого функція невідємна; вона є сталою на кожному з відрізків , (а отже, неперервною зліва) і неспадною - зростає в точках , стрибками .

Графік емпіричної функції розподілу (точніше - реалізації ) зображено на рис.1.2.1.

Рис.1.2.1. Графік реалізації емпіричної функції розподілу

Зауваження 1. Для вибірок із неперервних розподілів імовірність збігу вибіркових значень дорівнює нулеві, але оскільки ми фіксуємо результати з заданою точністю (наприклад, до третього знака), деякі вибіркові значення можуть збігатися. При цьому стрибок емпіричної функції розподілу в точці дорівнює , де - кількість вибіркових значень, які збігаються з , враховуючи й .

Зауваження 2. Розподіл, що відповідає емпіричній функції розподілу , будемо називати емпіричним. При кожному фіксованому це дискретний розподіл, що ставить у відповідність кожній точці , "масу" (або , якщо з збігаються вибіркових значень, враховуючи й )

Про відхилення емпіричної функції розподілу від функції розподілу .

Емпірична функція розподілу є оцінкою функції розподілу . Тому природно поставити запитання: наскільки емпірична функція розподілу , побудована за вибіркою із F, відхиляється від (якими можуть бути відхилення емпіричної функції розподілу від )? Зазначимо, що відхилення від є випадковою величиною, і коли ми говоримо про таке відхилення, мусимо говорити про розподіл відхилення.

Міру відхилення емпіричної функції розподілу від функції розподілу можна вводити різними способами. Розглянемо поки що відхилення емпіричної функції розподілу від функції розподілу (коли остання неперервна), запропоноване А. М. Колмогоровим:

(1.2.3)

(далі будемо писати ). Ця міра відхилення має ту важливу властивість, що при досить великих розподіл , незалежно від розподілу , з якого одержано вибірку , близький до розподілу Колмогорова.

Обчислення . Нехай - емпірична функція розподілу, побудована за вибіркою , точніше - за реалізацією вибірки; - неперервна функція розподілу. Часто виникає необхідність обчислити

(1.2.4)

для заданих та . Зазначимо, що не обовязково є вибіркою з розподілу .

Для того щоб обчислити

,

коли "перебігає" , його досить обчислити на кожному з проміжків

(1.2.5)

й із знайдених чисел вибрати найбільше.

Обчислимо спочатку

(1.2.6)

Значення

(1.2.7)

дорівнює одному з чисел

(1.2.8)

Функція стала на кожному з відрізків (1.2.5), - неспадна функція; тому функція - на відрізках (1.2.5) неспадна, й отже, (див. також рис.1.2.2)

(1.2.9)

(1.2.10)

(1.2.11)

(при обчисленні границь враховано, що стала на проміжках (1.2.5) функція, а отже, неперервна зліва (див. також рис. 1.2.2).

Рис.1.2.2. До обчислення

Отже,

дорівнює

(1.2.12)

або

, (1.2.13)

Для проміжків та маємо

(1.2.14)

(1.2.15)

Якщо через позначити довільну точку, що лежить праворуч від , то за означенням функції її значення дорівнює 1 й останню рівність можна записати в тій самій формі, що й інші:

(1.2.16)

Таким чином,

дорівнює найбільшому з чисел

(1.2.17)

де .

Делись добром ;)