Поведение фазовых траекторий динамических систем

дипломная работа

2.2 Метод Эйлера

Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется метод Эйлера. Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных дифференциальных уравнений:

Решение системы (4) ищем в виде:

Подставляя (5) в (4) и сокращая на , получаем систему уравнений для определения л,µ, и н:

Система (6) имеет ненулевое решение, когда ее определитель Д равен нулю,

Уравнение (7) называется характеристическим.

Случай А. Пусть корни характеристического уравнения - вещественные и различные. Подставив в (6) вместо r число и решив систему (6), получим числа Затем положим в (6) и получим числа и, наконец, при получим Соответственно трем наборам чисел получим три частных решения:

Общее решение системы (4) имеет вид:

Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений.

Решение: Составляем характеристическое уравнение:

или

Корням соответствуют числа:

Выписываем частные решения:

Общее решение системы:

Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные.

Пример 2. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений.

Решение: Выпишем систему для определения л и

Характеристическое уравнение:

имеет корни Подставляя получаем уравнения для определения

из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (9) равен нулю.)

Возьмем тогда первое частное решение запишется так:

Аналогично, подставляя в (9) корень найдем второе частное решение:

Перейдем к новой фундаментальной системе решений:

Пользуясь известной формулой Эйлера

из (10), (11) и (12) получаем:

Общим решением системы (8) будет:

Замечание. Найдя первое частное решение (10), можно было бы сразу написать общее решение системы (8), пользуясь формулами:

где Re z и Im z обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа z, т.е. если

В. Случай кратных корней.

Пример 3. Решить систему.

Решение: Характеристическое уравнение:

или

имеет кратный корень

Решение следует искать в виде:

Подставляя (14) в первое уравнение системы (13), получаем:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой части (15), получаем:

Величины остаются произвольными. Обозначая их соответственно через , получаем общее решение системы (13):

Замечание. Легко проверить, что если (14) подставить во второе уравнение системы (13), то получим тот же результат (16). В самом деле, из равенства

Получаем два соотношения для определения

Делись добром ;)