Поведение фазовых траекторий динамических систем
2.2 Метод Эйлера
Для интегрирования однородных линейных систем с постоянными коэффициентами применяется метод Эйлера. Рассмотрим этот метод в применении к системе трех линейных дифференциальных уравнений:
Решение системы (4) ищем в виде:
Подставляя (5) в (4) и сокращая на , получаем систему уравнений для определения л,µ, и н:
Система (6) имеет ненулевое решение, когда ее определитель Д равен нулю,
Уравнение (7) называется характеристическим.
Случай А. Пусть корни характеристического уравнения - вещественные и различные. Подставив в (6) вместо r число и решив систему (6), получим числа Затем положим в (6) и получим числа и, наконец, при получим Соответственно трем наборам чисел получим три частных решения:
Общее решение системы (4) имеет вид:
Пример 1. Решить систему дифференциальных уравнений.
Решение: Составляем характеристическое уравнение:
или
Корням соответствуют числа:
Выписываем частные решения:
Общее решение системы:
Б. Рассмотрим теперь случай, когда корни характеристического уравнения комплексные.
Пример 2. Решить систему линейных однородных дифференциальных уравнений.
Решение: Выпишем систему для определения л и
Характеристическое уравнение:
имеет корни Подставляя получаем уравнения для определения
из которых одно является следствием другого (в силу того, что определитель системы (9) равен нулю.)
Возьмем тогда первое частное решение запишется так:
Аналогично, подставляя в (9) корень найдем второе частное решение:
Перейдем к новой фундаментальной системе решений:
Пользуясь известной формулой Эйлера
из (10), (11) и (12) получаем:
Общим решением системы (8) будет:
Замечание. Найдя первое частное решение (10), можно было бы сразу написать общее решение системы (8), пользуясь формулами:
где Re z и Im z обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексного числа z, т.е. если
В. Случай кратных корней.
Пример 3. Решить систему.
Решение: Характеристическое уравнение:
или
имеет кратный корень
Решение следует искать в виде:
Подставляя (14) в первое уравнение системы (13), получаем:
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой части (15), получаем:
Величины остаются произвольными. Обозначая их соответственно через , получаем общее решение системы (13):
Замечание. Легко проверить, что если (14) подставить во второе уравнение системы (13), то получим тот же результат (16). В самом деле, из равенства
Получаем два соотношения для определения