2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I. Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S - положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S

(a+b M) (a M & b M).

Доказательство:

12. Пусть для произвольных и максимального правого идеала M. Предположим, что , тогда и для некоторых и . Имеем:

.

В левой части последнего равенства - элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

21. Пусть выполнено 2 и с - произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.

II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть . Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый , такой что . Тогда

,т.к.. Получили y=1 и значит .

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть , тогда ,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Поскольку выполняется для , то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого обратимого элемента элемент обратим.

Доказательство.

Полукольцо положительно, следовательно, элемент - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

и - обратимы, тогда их произведение также обратимо , значит обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

1. S - дистрибутивная решетка.

2.

Доказательство.

. Очевидно.

. По свойству 2 следует , тогда:

и .

Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1 - единственный обратимый элемент.

Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимый элемент u,

и

VI. Пусть a - фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:

1. a+1=1;

2.

3.

Доказательство.

. Докажем методом математической индукции по числу n.

I. База. к=1. (выполняется по условию).

II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.

Рассмотрим для k=n

и a+1=1

Из I и II Следует .

. .

Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.

Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц . Зафиксируем элемент , где . Для n=2

верно, но совсем неверно.

VII. Если S - полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.

Доказательство.

Осталось доказать .

Имеем . Добавим к правой и левой части выражения равные элементы :

В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:

Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 - 3.

VIII. Пусть S - ограниченное полукольцо, и существует такое , что для всех . Тогда:

1. для всех ;

2. - коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I - множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операцияопределяется так:

.

Доказательство.

1. Возьмем .

Тогда , т.к. .

Для доказательства понадобится

Лемма: В ограниченном полукольце

.

Доказательство: ММИ по числу n в .

I. База. n=1. Из условия ограниченности

II. И.П. n=i-1.

Из условия II и ограниченности:

.

По ИП:

Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.

Рассмотрим :

Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо (1 группа), либо (2 группа), и только так.

Среди слагаемых 1 группы имеется член . Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии и лемме 1. из группы 1 останется только элемент

Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем

2 .Прежде всего проверим замкнутость операций и + на множестве I.

(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.

(2) Докажем, что - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:

a). Ассоциативность:

Рассмотрим элемент

Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.

С другой стороны

Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.

b). 1 - нейтральный элемент:

с). Коммутативность:

,

1.

2.

Из 1 и 2 следует , по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.

(3) Дистрибутивность:

(4)

Все аксиомы полукольца доказаны, а значит - коммутативное полукольцо и его элементы - элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо - ограничено.

IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство

,

то S - аддитивно идемпотентно.

Доказательство.

Рассмотрим t>1

Рассмотрим t=1,

…

т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.

X. В положительном полукольце S справедливо следующее тождество:

Доказательство.

Домножим на обратный к :

Получим: