Полунормальные подгруппы конечной группы

курсовая работа

2.1 Свойства супердобавлений

Определение 2.1.1 Подгруппу, обладающую супердобавлением, называют полунормальной подгруппой. Таким образом, подгруппа группы называется полунормальной подгруппой, если существует такая подгруппа , что и - собственная подгруппа группы для каждой подгруппы из , отличной от .

Пример 2.1.2 Нормальные и квазинормальные подгруппы являются полунормальными и любые их минимальные добавления будут супердобавлениями.

Пример 2.1.3 В симметрической группе силовская -подгруппа является полунормальной подгруппой, но не квазинормальной.

Лемма 2.1.4 Если подгруппа полунормальна в группе и в группе нет собственных добавлений к , то квазинормальна.

Доказательство. Так как по условию все добавления к подгруппе совпадают с самой группой , то и супердобавлением к будет . Теперь из определения полунормальной подгруппы следует, что перестановочна со всеми собственными подгруппами группы .

Лемма доказана.

Введем следующие обозначения. Если - подгруппа группы , то - множество всех супердобавлений к подгруппе в группе . Ясно, что в точности тогда, когда не является полунормальной подгруппой.

Пусть и - подгруппы группы , и подгруппа нормальна в группе . Введём следующие обозначения:

- обычное теоретико множественное включение, то есть любая группа содержится в .

Запись

означает, что для любой подгруппы существует подгруппа такая, что содержится в .

Лемма 2.1.5 Если - полунормальная подгруппа группы и , то - полунормальная подгруппа группы и

Доказательство. Пусть . Тогда и - собственная подгруппа группы для любой подгруппы из , отличной от . Ясно, что для любого элемента из , а так как можно считать произвольной в подгруппой, отличной от , то - собственная подгруппа группы . Поэтому полунормальна в и - супердобавление к в группе , то есть . Отсюда следует, что . Группа для любого . Так как , то , где , . Теперь . Если - подгруппа из , отличная от , то - подгруппа из , отличная от . Поэтому - собственная подгруппа группы и . Значит, для всех . Отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.6 Если - полунормальная подгруппа группы и - подгруппа, содержащая , то полунормальна в и для любой подгруппы пересечение содержит супердобавление к подгруппе в .

Доказательство. Пусть полунормальна в и . Так как , то по тождеству Дедекинда имеем . Пусть - наименьшая подгруппа из , для которой . Если - собственная подгруппа из , то . Поскольку , то - подгруппа группы , поэтому полунормальна в и - супердобавление в .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.7 Если - полунормальная подгруппа группы и , то - полунормальная подгруппа группы и любая группа из содержит супердобавление к в .

Доказательство. Пусть полунормальна в и . Тогда . Пусть - наименьшая подгруппа из такая, что . Выберем произвольную подгруппу из , отличную от . Так как , то . Поскольку , то по тождеству Дедекинда . Теперь , а из полунормальности следует, что - подгруппа группы и - собственная подгруппа группы . Это означает, что полунормальна в и . Так как , то лемма доказана.

Лемма 2.1.8 Пусть - полунормальная подгруппа группы и . Если - полунормальная подгруппа группы , то - полунормальная подгруппа группы и .

Доказательство. По условию и , где . Кроме того, - подгруппа группы . Ясно, что . Если - собственная подгруппа в , то - собственная подгруппа в и . Ясно, что и перестановочны с , поэтому . Так как , то . Значит, является супердобавлением к в , то есть , что и требовалось доказать.

Лемма 2.1.9 Если - подгруппа группы и - её минимальное добавление, то следующие утверждения эквивалентны:

полунормальна в группе и ;

для каждого элемента и каждого элемента существуют целое число и элемент такие, что .

Доказательство. . Пусть подгруппа полунормальна в группе и - ее супердобавление. Подгруппа , где пробегает все элементы группы , причем - подгруппа группы , что следует из полунормальности . Поэтому . Теперь выбираем произвольные элемент и элемент . В силу того, что получаем, что для некоторого целого числа и некоторого элемента .

. Пусть для каждого элемента и каждого элемента существуют целое число и элемент такие, что . Так как из равенства вытекает включение , а из равенства следует, что , значит . Ввиду того, что для любой подгруппы из имеем , где , то получаем равенство . Это означает, что полунормальна в и .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.10 Пусть , подгруппа нормальна в группе . Подгруппа полунормальна в группе тогда и только тогда, когда подгруппа полунормальна в группе .

Доказательство. Пусть подгруппа полунормальна в группе . Тогда по лемме 2.1.7 подгруппа полунормальна в группе .

Обратно, если полунормальна в , то из определения полунормальной подгруппы получаем, что существует подгруппа из факторгруппы такая, что и , где . Откуда следует, что . Пусть - наименьшая подгруппа из такая, что и . Рассмотрим произвольную собственную подгруппу из .

Если , то - собственная подгруппа группы , поэтому - подгруппа группы .

Если не содержит , то - подгруппа группы и - подгруппа группы . Это означает, что полунормальна в и .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.11 Пусть подгруппа полунормальна в , и . Тогда для любого подгруппа перестановочна со всеми сопряженными подгруппами .

Доказательство. Если элемент , то , где , . Из полунормальности подгруппы вытекает, что . Имеем . Поэтому .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.12 Произведение квазинормальной и полунормальной подгрупп является полунормальной подгруппой. В частности, произведение нормальной и полунормальной подгрупп есть полунормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть - квазинормальная подгруппа группы и - полунормальная подгруппа с супердобавлением . Тогда и - собственная подгруппа группы для всех собственных подгрупп из . Пусть - наименьшая в подгруппа, для которой . Если , то , а так как - подгруппа группы и квазинормальная, то и есть подгруппа группы .

Лемма доказана.

Делись добром ;)