Понятие о численных методах решения обыкновенных дифференциальных уравнений

реферат

3. Недостатки метода Эйлера

Существует простая геометрическая интерпретация метода Эйлера. Рассмотрим снова задачу Коши (3) для одного ОДУ первой степени и соответствующее ему в методе Эйлера рекуррентное соотношение (8)

уравнение дифференциальный коши задача

Рис. 1

На плоскости (х,у) каждому частному решению задачи Коши, которая выделяется начальным условием , отвечает некоторая кривая, которая называется интегральной кривой. Изменяя , мы переходим от одной к другой интегральной кривой. Более того, можно доказать, что через каждую точку плоскости (х,у) проходит одна и только одна интегральная криваяИнтегральные кривые не пересекаются. В противном случае, в данной точке (х,у) можно было бы указать две разные касательные =f(x,у), что противоречит предположению об однозначности f(x,y). .

Пусть решению рассматриваемой нами задачи Коши на рис. 1 отвечает жирная интегральная кривая. Рекуррентное уравнение метода Эйлера (8) можно записать в форме

(13)

Поскольку, согласно решаемому нами ОДУ, . Если считать параметр h непрерывной переменной, то легко понять, что уравнение (13) представляет собой уравнение касательной, проведённой в точке к интегральной кривой у(х), проходящей через эту точку.

Таким образом, на каждом шаге метода Эйлера мы заменяем истинную интегральную кривую отрезком касательной, проведённой к этой кривой в начале микроинтервала [,]. Тем самым мы отклоняемся от искомой интегральной кривой на некоторую маленькую величину, причём её малость определяется малостью шага h.

В результате, на втором шаге метода Эйлера мы строим касательную в точке не к истинной, а к другой интегральной кривой - той, которая проходит через эту точку и, таким образом, ещё больше отклоняемся от искомой интегральной кривой, удовлетворяющей начальному условию .

Таким образом, в методе Эйлера мы заменяем искомую интегральную кривую некоторой ломаной линией, которая, по мере отдаления от начальной точки , всё более и более отклоняется от этой интегральной кривой. Иными словами, абсолютная погрешность метода Эйлера имеет тенденцию к нарастанию по мере увеличения числа шагов этого метода.

Может показаться, что если выбрать шаг интегрирования h более маленьким, то можно существенным образом уменьшить эту погрешность. В общем случае это, однако, не так. Действительно, если мы должны получить решение исходной задачи Коши (3) на некотором заданном макроинтервале [,], то уменьшение шага h влечёт за собой увеличение числа шагов интегрирования N, поскольку . «Локальная погрешность» (погрешность на одном шаге) уменьшается при уменьшении h, но увеличение числа шагов может привести к росту «глобальной погрешности» на заданном интервале [,]. Вышеуказанная ситуация характерна для неустойчивых вычислительных процессов, использование которых на практике может привести к катастрофическим последствиям. В силу этого, необходимо рассматривать такие методы численного решения ОДУ, которые порождают достаточно устойчивые численные алгоритмы.Подробное рассмотрение вопросов устойчивости различных алгоритмов решения ОДУ можно найти, например, в [5]

Весьма распространёнными и хорошо зарекомендовавшими себя на практике для решения ОДУ являются методы Рунге-Кутты. Это целый класс методов и мы, в качестве примера, рассмотрим так называемый четырёхточечный метод Рунге-Кутты

Делись добром ;)