Понятия сферической геометрии

Введение

Широко известно, что евклидова геометрия является одной из наиболее древних наук: уже в III в. до н. э. появился класси-ческий труд Евклида--«Начала». Менее известно, что сферическая геометрия лишь немного моложе. Ее первое системати-ческое изложение относится к I--II вв. В книге «Сферика», написанной греческим математиком Менелаем (I в.), изучались свойства сферических треугольников; доказывалось, в частно-сти, что сумма углов сферического треугольника больше 180°. Большой шаг вперед сделал другой греческий математик Клавдий Птолемей (II в.). По существу он первый составил таблицы тригонометрических функций, ввел стереографическую проек-цию.

Так же как и геометрия Евклида, сферическая геометрия возникла при решении задач практического характера, и в пер-вую очередь задач астрономии. Эти задачи были необходимы, например, путешественникам и мореплавателям, которые ориен-тировались по звездам. А поскольку при астрономических наблюдениях удобно считать, что и Солнце, и Луна, и звезды движутся по воображаемой «небесной сфере», то естественно, что для изучения их движения потребовались знания о геометрии сферы. Не случайно поэтому, что самая известная работа Птолемея называлась «Великое математическое построение астрономии в 13 книгах».

Сферическая геометрия быстро нашла применения и при ре-шении сугубо земных задач. Довольно давно появилась гипоте-за о том, что Земля имеет форму шара (радиус Земли с до-вольно большой степенью точности уже в III в. до н. э. вычис-лил Эратосфен). Поэтому для вычисления географических координат, для нахождения курса корабля, для составления географических карт тоже потребовались сведения о сфере.

Однако, чтобы найти основные теоремы и формулы сферической геометрии, понадобилось существенно больше времени, чем для решения задач евклидовой геометрии. Сферическая геометрия последовательно развивалась благодаря работам индий-ских (Ариабхата, V в.) и арабских ученых (Аль-Баттани-- IX в.; Абу-Аль Вефа --XI в.), азербайджанского математика Насирэддина Туси (XIII в.). Достраивали здание сферической геометрии европейские математики Региомонтан, Непер, Меркатор и другие. Особую роль здесь сыграли работы Леонарда Эйлера. Благодаря Эйлеру сферическая геометрия приобрела современный вид.

В настоящее время сферическая геометрия особенно широ-кое применение находит в астрономии и геодезии (науке о фор-ме и размерах Земли), навигации и картографии.

Так же как и в планиметрии, в сферической геометрии рас-сматриваются точки и «прямые» (кратчайшие на сфере), расстояния между точками, перемещения. После введения этих понятий мы увидим, что между планиметрией и сферической геометрией много общего, однако имеются и важные различия. Мы познакомимся также с простейшими приложениями сферической геометрии.