Понятия сферической геометрии
§ 3. Сферическая тригонометрия
Длины сторон и величины углов произвольного треуголь-ника на плоскости связаны между собой определенными соотношениями, важнейшие из которых называются теоремами ко-синусов и синусов:
В этих формулах a, b, c-длины сторон треугольника ABC, лежащих соответственно против углов A, B и С. Эта формулы позволяют по трем эле-ментам треугольника длинам сторон и углам -- восстановить остальные три элемента. Они применяются при решении практических задач, например в геодезии. В этом параграфе мы выведем аналогичные соотношения для сфе-рических треугольников.
Напомним, что сферическому тре-угольнику ABC на сфере (О, R) от-вечает трехгранный угол OABC, причем величины углов A, В и С этого треугольника равны величинам двугранных углов при соответствующих ребрах ОА, ОВ, ОС трехгранного угла, а длины противолежащих сторон а, b, с связаны с соответствующими плоскими углами трехгранного угла (рис. 9) формулами , где R-радиус сферы (см. § 1, теорема 2). Поскольку значение R фиксировано, вместо длин сторон а, b и с будем рассматривать плоские углы б, в и г
Теорема косинусов для сферических треугольников или для трехгранных углов должна получиться в результате следующей задачи: зная плоские углы б и в, а также двугранный угол между ними, найти третий плоский угол г трехгранного угла ОABC (рис. 10). Изложим решение этой задачи.
Конечно, г отыскивается с помощью обычной теоремы косинусов, примененной к некоторому треугольнику OA1B1, где А1 [ОА), B1 [OB). Чтобы ввести в рассмотрение данный двугранный угол, возьмем на ребре ОС произвольную точку С1 и построим линейный угол А1С1В1 двугранного угла при этом ребре. Для этого проведем прямые С1А1 и С1В1в плоскостях соот-ветствующих граней до пересечения с ребрам ОА и ОВ в точках А1 и В1:
(С1А1)(ОС), (С1В1)(ОС)
(рис. 10); мы ограничимся пока случаем острых плоских углов б и в. Осталось дважды применить теорему косинусов -- сначала к треугольнику А1С1В1 а затем к треугольнику ОА1В1. Про-ведем необходимые вычисления.
Если |OC1|=z, то |C1A1|=z tgв, |C1B1|=z tgб; поскольку , то
С другой стороны, в треугольнике ОА1В1 имеем:
поэтому
приравняв правые части формул (3.1), (3.2) и воспользовавшись известным соотношением
получим:
.
Отсюда после сокращений получаем:
и, наконец,
Это и есть знаменитая теорема косинусов сферической три-гонометрии.
Прежде чем доказать аналог теоремы синусов для сфери-ческих треугольников, напомним одно из доказательств теоремы синусов для плоских треугольников. Проведем в треугольнике АВС высоту СН (рис. 11). Тогда независимо от величины уг-лов А и В длина высоты связана с длинами противолежащих сторон соотношениями откуда следует, что
Точно так же доказывается и второе равенство в теореме си-нусов.
В сферическом треугольнике ABC тоже можно провести вы-соту СН -- дугу большой окружности, перпендикулярную боль-шой окружности АВ (рис. 12). Длине высоты |СН|s отвечает величина угла СОH: если , то |CH|s=Rц. Это наводит на следующее построение для соответствующего трехгранного угла ОАВС. Возьмем на ребре ОС произвольную точку C1 и проведем из нее перпендикуляры С1А1 к (ОA), С1В1 к (ОB) и С1Н1 к плоскости ОАВ (см. рис. 13); мы опять рассматриваем случай острых углов б, в, . По теореме о трех перпендику-лярах (H1A1)(OA), (H1B1)(OB), поэтому углы C1A1H1 и C1B1H1 будут линейными углами соответствующих двугранных углов: . Из прямоугольных треугольников OA1C1 и С1Н1А1, обозначив |OC1|=z, находим:
(3.4)
Аналогично из прямоугольных треугольников ОВ1С1 и C1H1B1
3.5)
Приравнивая правые части равенств (3.4) и (3.5), получим:
откуда
Точно так же доказывается, что
Получающиеся в итоге формулы
и составляют содержание теоремы синусов для сферических треугольников или трехгранных углов.
В заключение рассмотрим вопрос о связи обычных планиметрических и сферических теорем синусов и косинусов. Заметим, что внешне формулы косинусов на плоскости и на сфере не-похожи. С другой стороны, на маленьких участках сферу мож-но считать «почти плоской», тогда (т. е. при малых по сравне-нию с радиусом R сферы длинах сторон сферического треуголь-ника ABC) сферическая теорема косинусов должна «почти перейти» в планиметрическую, и то же самое для теоремы сину-сов. Проверим, так ли это.
Длины сторон а, b, с сферического треугольника ABC свя-заны с соответствующими плоскими углами б, в, г трехгранного
угла ОАВС формулами
,
поэтому рассматриваемый случай (а, b, с много меньше, чем R) отвечает тому, что б0, в0, г0. Вспомним, что при малых ц зна-чение sinц приближенно равно ц:
Отсюда можно вывести аналогичную приближенную формулу для соsц при малых ц:
Подставляя соответствующие приближения в формулы сину-сов и косинусов (формулы (6) и (3)), получим приближенные формулы для малых сферических треугольников:
сферическая тригонометрия навигация аксиома
откуда
(мы отбросили в предпоследнем соотношении слагаемое четвер-той степени , поскольку оно мало по сравнению со слагаемыми второй степени -- ). Подставляя в полученные формулы , мы действительно получим обычные теоремы синусов и косинусов!