Понятия сферической геометрии

§4. Перемещения сферы

По аналогии с планиметрией можно определить перемещение сферы как такое отображение f сферы на себя, при кото-ром сохраняются расстояния между любыми двумя точками сферы:

если

Простейшим примером перемещения сферы является поворот сферы вокруг любой оси, проходящей через центр сферы. В от-личие от поворота плоскости такой поворот сферы имеет два «центра»--две диаметрально противоположные точки (А и А на рис. 14), которые остаются неподвижными при повороте. Сим-метрия сферы относительно плоскости б, проходящей через центр сферы, также является перемещением сферы. Это преоб-разование вполне аналогично симметрии плоскости относитель-но прямой -- роль оси симметрии играет большая окружность, получающаяся при пересечении плоскости б со сферой (рис. 15). Наконец, сфера отображается на себя при симметрии Z₀ относительно своего центра (рис 16).



Две фигуры на сфере называются конгруэнтными (), если существует перемещение сферы, отображающее первую фигуру на вторую.

Например, треугольники Т, Т₁ и T, изображенные на рисунке 17, конгруэнтны. Заметим, что треугольники Т и Т нельзя «на-ложить» один на другой, «вырезав» их из сферы, подобно тому, нельзя совместить между собой правую и левую руку. Такие конгруэнтные фигуры иногда называют зеркально-конгруэнтными (отметим, что на плоскости таких фигур не бывает, так как одну фигуру всегда можно «наложить» на конгруэнт-ную ей фигуру; правда, для этого, может быть, придется выве-сти первую фигуру в пространство).

Как и в планиметрии, композиция любых двух перемещений сферы снова является перемещением сферы. Рассмотрим пример.

Пример. Композиция S₂ ° S₁ двух симметрии относи-тельно плоскостей «1» и «2», как нетрудно видеть, будет пово-ротом вокруг прямой l, по которой пересекаются эти плоскости (рис. 18). Если угол между плоскостями равен ц, то угол пово-рота равен 2ц (см. рис. 18). Конечно, верно и обратное: поворот вокруг оси l на угол ц можно представить как ком-позицию симметрии относительно двух плоскостей, которые проходят через прямую l и образуют друг с другом угол .

Оказывается, что любое перемещение сферы можно предста-вить в виде композиции симметрии относительно плоскостей. Справедливо следующее утверждение.

Лемма. Произвольное перемещение f сферы (О, R) явля-ется либо тождественным преобразованием Е, т. е. f(M) =М для любой точки М, либо симметрией относительно некоторой плоскости, либо композицией двух или трех симметрии относи-тельно плоскостей: f=E, или f=S₁ или f=S₂°S₁ f=S₃°S₂°S_1.

Мы докажем эту лемму, опираясь на следующее допущение: если A, В и С-- три точки сферы, не принадлежащие одной большой окружности, а точки А, В и С таковы, что |AВ|_s=|AB|_s, |AC|_s=|AC|_s, |BC|_s=|BC|_s т. е. длины сторон сферических треугольников ABC и АВС соответственно равны, то существует не более одного перемещения сферы, при котором точка А переходит в точку А, точка В -- в В и точка С -- в С.

Наглядно это утверждение ясно. Действительно, если мы совместим точку А с А, а точку В с В, то для точки С оста-ется только две возможности -- либо С совпадает с С, либо С совпадает с точкой С", симметричной с С относительно плоскости ОАВ (рис. 20). А поскольку мы знаем, что точка С должна перейти в С, остается одна возможность: СС (об-разы остальных точек сферы при этом определяются одно-значно).



Доказательство леммы. Пусть f -- произвольное перемещение сферы. Рассмотрим три точки A, В и С сферы, не принадлежащие одной большой ок-ружности, и их образы A, В и С при перемещении f; тогда эти точки удов-летворяют условиям сделанного выше допущения. Идея дальнейшего рассужде-ния состоит в том, чтобы последователь-ными симметриями относительно плоско-стей перевести точку А в A, точку В -- в В, С -- в С. Для этого потребуется не более трех симметрии, а при их компо-зиции все три точки A, В, С перейдут со-ответственно в точки A, В и С. По-скольку любая композиция симметрии является перемещением, из допущения о единственности перемещения, отобра-жающего точки A, В и С на точки A, В и С соответственно, следует, что f сов-падает с построенной композицией. Пе-рейдем к построению композиции сим-метрии, последовательно разобрав все возможные случаи.

Случай 1. A=A, В=В, С=С.

Очевидно, что в этом случае f=E.

Случай 2. A=A, В=В, С?С.

Поскольку точки С и С равноудалены от точек A и В, они симметричны относительно плоскости «1»=(ОAВ) (см. рис.20), поэтому при симметрии S₁ точки A, В, С переходят в A=A, В=В, С и f=S₁.

Случай 3. A=A, В?В, С?С.

Рассмотрим плоскость симметрии точек В и В -- это бу-дет плоскость «1», проведенная через середину отрезка ВВ перпендикулярно ему (рис. 21). Плоскость «1» состоит из то-чек, равноудаленных от В и В, поэтому точки О (центр сферы) и A=A принадлежат этой плос-кости (|ОВ| = |ОВ|=R, |AВ| = |AB|=|AВ|, ибо |AВ|_s,= |AВ|_s и A=A). Следовательно, при симметрии S₁ сфера (О, R) отображается на себя (О«1»), причем точки A и В переходят в точки A=A и В. Для точки С (см. рис. 20) име-ется две возможности -- либо С переходит в С, и тогда f=S₁, либо С переходит в С", и тогда нужно рассмотреть симметрию S₂ относительно плоскости «2»=(ОAВ). При композиции S₂°S₁ точки A, В, С переходят в точки A, В, С, поэтому f=S₂°S₁.

Случай 4. A?A, В?В, С?С.

Рассмотрим плоскость симметрии точек A и A --пусть это будет плоскость «1». При симметрии S₁ точка А отображается на A, а точки В и С -- на какие-то точки В₁ и С₁. Может случиться, что B=В, С=С, тогда f=S₁. Если B₁=B, C₁?C, то применяем рассуждения случая 2, тогда f=S₂°S₁, где «2»=(ОAВ). Наконец, если В₁?В, С1?С, то применяем рассуж-дения случая 3, тогда либо f=S₂°S₁, где «2»--плоскость симметрии точек В₁ и В, либо f=S₂°S₁, либо f =S₃°S₂°S₁, где «2»--та же плоскость, а «3»== (ОAВ).

Лемма доказана.

Исходя из этой леммы, можно полностью классифицировать перемещения сферы: f=E --тождественное преобразование, ли-бо f=S₁ -- симметрия, либо f=S₂°S₁=--поворот (см. пример). Остается разобрать случай f =S₃°S₂°S₁. Оказы-вается, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4 (Эйлера). Любое перемещение сферы есть либо тождественное преобразование, либо поворот относительно оси, либо симметрия относительно плоскости, либо вращатель-ная симметрия.

(Вращательной симметрией называется композиция S_б° поворота относительно оси k и симметрии относитель-но плоскости б, перпендикулярной к оси k; обычную симметрию можно рассматривать как частный случай вращательной сим-метрии -- щ=0.)

Доказательство. Нам осталось рассмотреть единствен-ный случай -- перемещение f сферы представляется в виде ком-позиции трех симметрии, т.е. f =S₃°S₂°S₁. Композиция двух симметрии S₂°S₁ есть поворот относительно пря-мой l, являющейся пересечением плоскостей «1» и «2». Эта композиция не изменится, если повернуть плоскости «1» и «2» относительно оси l на один и тот же угол (после поворота угол между плоскостями по-прежнему будет равен см. пример). Повернем плоскости «1» и «2» так, чтобы плоскость «2» стала перпендикулярной к плоскости «3, и рассмотрим еще одну плоскость симметрии сферы, пер-пендикулярную плоскостям «2» и «3», пусть это будет плоскость «0». Заметим, что S₀°S₀ =E -- тождественное преобразование, поэтому f можно записать в виде

f =S₃°S₂°S₁= S₃°S₂°E°S₁= S₃°S₂°( S₀°S₀) °S₁= (S₃°S₂° S₀)°(S₀)°S₁).

Поскольку плоскости «0», «2» и «3» взаимно перпендикуляр-ны, S₃°S₂°S₁=Z₀-- центральная симметрия, а S₀°S₁=--поворот вокруг прямой пересечения плоско-стей «0» и «1». Таким образом, f=Z₀°.

Проведем теперь плоскость симметрии сферы б, перпендику-лярную оси k. Рисунок 22 показывает, что центральная сим-метрия z₀ представляется как композиция осевой симметрии и симметрии S_б, т.е. Z₀=S_б°. Следовательно, рассматривая перемещение f можно записать в виде

где щ=р+ц.

Это и требовалось доказать.

В заключение отметим, что в ходе доказательства леммы показана кон-груэнтность сферических треугольни-ков со сторонами соответственно рав-ной длины.

Аналогичные рассуждения доказывают еще два признака конгру-энтности сферических треугольников -- по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам.

Эти три признака отвечают трем признакам конгруэнтности тре-угольников на плоскости.

Оказывается, в сферической геоме-трии имеет место еще один признак конгруэнтности треуголь-ников--по трем углам.