Поняття фракталів

2.4.2 Дракон Хартера-Хейтуея

Для більшості регулярних фракталів фрактальна розмірність D менша, ніж розмірність d того простору, в якому знаходиться даний фрактальний обєкт. Нерівність D < d відображає факт некомпактності фрактала, причому чим більше розрізняються величини D і d, тим більше рихлим є фрактал. Існують фрактали, які щільно заповнюють простір, в якому вони знаходяться, так що їх фрактальна розмірність D = d. Одним з прикладів такого роду є криві Пеано (Peano curves). Дракон Хартера-Хейтуея (мал.12) є прикладом кривої Пеано, для якої область, яку вона заповнює на площині, має химерну форму.

Мал.12

Перші чотири кроки його побудови представлено на мал.12

Як випливає з мал.13 кожний з відрізків прямої на наступному кроці замінюється на два відрізки, створюючих бічні сторони рівнобедреного прямокутного трикутника, для якого вихідний відрізок був би гіпотенузою. В результаті відрізок як би прогинається під прямим кутом. Напрям прогину чергується. Перший відрізок прогинається вправо (по ходу руху зліва направо), другий - вліво, третій - знову управо і так далі На мал.13 пунктиром показана конфігурація попереднього кроку. Таким чином, після кожного кроку число наявних відрізків подвоюється, а довжина кожного відповідно зменшується вдвічі. Тому фрактальна розмірність кривої, що утворюється в результаті (після нескінченного числа кроків), рівна 2.

Для реалізації вказаного вище алгоритму побудови необхідно перейти до комплексних чисел Z_A, Z_B и Z_C (Мал.14).

Мал.13

Для знаходження координат точки C представимо комплексні числа в тригонометричній формі. Знаходження координат точки C представлене формулами 1-8.

(1)

(2)

(3)

 (4)

 (5)

(6)

Гранична фрактальна крива (коли n прямує до нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея. У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідно для отримання зображень дерев, кущів, берегових ліній. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення обємних текстур (малюнка на поверхні обєкту).