1.1 “Начала” Евкліда
Ще на початку III століття до н. е. Арістотель чітко визначив і логічну схему систематичного викладання науки, і суть змістовної аксіоматичної теорії. У цьому ж столітті зявились “Начала” Евкліда.
Про автора “Начал” відомостей мало. Відомо, що народився він в Афінах близько 325 до н. е., був учнем Платона. Більшу частину свого життя Евклід прожив в Александрії, де створив математичну школу. Основна його праця “Начала”. У ній Евклiд як послідовник Арістотеля виклав геометричні факти так, що кожний з них логічно випливає ,з попередніх.
Зрозуміло, що обєднання численних розрізнених фактів, відшукання їх логічних доведень і, особливо, розміщення цих доведень у єдиному логічному ланцюгу було надзвичайно важким завданням. Евклід виконав його з виключною для того часу майстерністю.
За “Началами” протягом багатьох століть геометрію вивчали в усіх школах. З кінця XV століття ця книжка витримала більш як 1500 видань на багатьох мовах світу. Таким тривалим успіхом не користувалась жодна наукова книга. “Начала” Евкліда були зразком логічної строгості до XIX століття, аж поки не виявились докорінні недоліки в їх побудові.
“Начала” Евкліда складаються з 13 книжок: у перших шести викладається планіметрія, у сьомій, восьмій, девятій книжках подаються елементи теорії чисел, десята книжка присвячена геометричній теорії ірраціональних чисел, у наступних трьох викладається стереометрія.
Кожна книжка “Начал” починається з означень тих термінів, які зустрічаються в ній, у першій книзі перелічено також аксіоми і постулати. Потім ідуть твердження -- так називає Евклід теореми і задачі.
На початку першої книжки “Начал” вміщено 23 означення, 5 постулатів і 9 аксіом.
Наведемо кілька означень.
1. Точка є те, що не має частин.
2. Лінія є довжина без ширини.
3. Кінці лінії -- точки.
4. Пряма лінія є та, яка однаково лежить відносно всіх своїх точок.
Ці означення незадовільні з логічного боку: вони не мають точного змісту і не придатні для логічних міркувань. Для повної строгості треба було б перелічити спочатку основні (родові) поняття, за допомогою яких означуються усі інші. Евклід цього не робить, вважаючи інтуїтивно очевидними поняття: “частина”, “довжина”, “ширина”.
Взагалі, з сучасної точки зору багато “означень” з першої книжки “Начал” нічого не означають і є зайвими.
Отже, не дивно, що при побудові геометрії Евклід фактично не користується своїми означеннями.
Розглянемо тепер основні припущення, на яких побудовано систему Евкліда - постулати і аксіоми.
Постулати.
Вимагається, щоб:
1. Від кожної точки до кожної іншої точки можна було провести пряму лінію.
2. Кожну обмежену пряму можна було продовжити по прямій, як завгодно далеко.
3. З довільного центра можна було описати коло будь-яким радіусом.
4. Всі прямі кути були рівні між собою.
5. Кожного разу, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними внутрішні односторонні кути, сума яких менша від двох інших, ці прямі (продовжені як завгодно далеко) перетинались з того боку, з якого ця сума менша від двох прямих.
Нагадаємо, що сукупність тверджень геометрії, доведення яких на пятий постулат не спираються, називають абсолютною геометрією.
Аксіоми.
1. Рівні одному і тому самому рівні між собою.
2. Якщо до рівних додають рівні, то й цілі будуть рівними (тобто і суми будуть рівними).
3. І якщо від рівних відняти рівні, то остачі будуть рівними.
4. І якщо до нерівних додаються рівні, то цілі будуть нерівні.
5. І подвоєні одного і того самого рівні між собою.
6. І половини одного і того самого рівні між собою.
7. І ті, що суміщаються одне з одним, рівні між собою.
8. І ціле більше від своєї частини.
9. І дві прямі не містять простору.
Потім у першій книзі “Начал” ідуть твердження, тобто задачі на побудову і теореми.
Розглядаючи їх, Евклід допускає логічні помилки, повязані з неповнотою аксіоматики: - він користується, властивостями фігур, що логічно не випливають з прийнятих аксіом та постулатів.
Наприклад, у твердженні п е р ш о м у (на даній обмеженій прямій побудувати рівносторонній трикутник) Евклід використовує ідею неперервності, хоч у його системі нема аксіом, на які можна було б спиратися в даному випадку.
Система евклідових аксіом взагалі недосконала і не може бути основою для логічної побудови геометрії. Евклід дуже часто відступає від строгого аксіоматичного принципу: не перелічує без означень основних (вихідних) понять, не дає системи аксіом, достатньої для логічної побудови геометрії, використовує в доведеннях такі твердження, які не були доведені і не належать до аксіом.
1.2 Аксіоматична побудова евклідової геометрії в системі Гільберта
На прикінці XIX століття була вперше розвязана задача строго аксіоматичного обгрунтування геометрії Евкліда. Розвязали її одночасно кілька математиків, серед яких особливо слід відзначити: італійця Маріо Пієрі, професора Геттінгенського університету Д.Гільберта (1862-1943), приват-доцента Новоросійського університету В.Ф Кагана (1869-1953). Особливої популярності набула система аксіом, яку подав Д.Гільберт у своїй праці ”Основи геометрії” (1899). У 1904 році цей твір було відзначено міжнародною премією ім. М.І. Лобачевського.
Гільберт розглянув три різні множини основних обєктів або елементів геометрїї, а також деякі основні відношення між ними.
Обєкти першої множини (елементи першого роду) називають точками і позначають А, В, С, ... ; обєкти другої множини (елементами другого роду) - прямими і позначають а,b,с, ... ; обєкти третьої множини (елементи третього роду) - площинами і позначають ?, ?, ?, …. Множину всіх точок, прямих і площин називають простором.
Основні відношення позначають словами: “належати”, “лежати між”, “конгруентні”.
За Гільбертом, основні геометричні поняття мають задовольняти наведену нижче систему аксіом, що складається з пяти груп.
Перша група аксіом містить 8 аксіом сполучення, друга - 4 аксіоми порядку, третя - 5 аксіом конгруентності, четверта одну аксіому про паралельні, пята - 2 аксіоми неперервності.
Через основні поняття логічно виражаються всі інші геометричні обєкти і відношення. Властивості всіх геометричних обєктів і відношень, які не перелічені в системі аксіом, є логічними наслідками цієї системи.
1.2.1 Перша група аксіом - аксіоми сполучення
У першій групі аксіом перелічуються основні властивості відношення “належати”, яке може повязувати точки, прямі й площини.[8,c 289]
Надалі говоритимемо про дві, три, ... точки (прямі, площини), маючи на увазі лише різні точки (прямі, площини). Вважатимемо, що коли елемент х належить елементу у, то й елемент у належить елементу х (у позначеннях (х)(у)>(у)(х)).
До першої групи Гільберт відніс вісім аксіом, третю й четверту з них ми розбиваємо на дві. Третю аксіому системи Гільберта у наведеному нижче переліку аксіом висловлено в аксіомах І3 і І4, четверту - в аксіомах І5 і І7. Таким чином, дістанемо десять аксіом сполучення.
І1 Для всяких двох точок існує пряма, що належить кожній з цих точок.
І2. Для всяких двох точок існує не більш ніж одна пряма, що належить кожній з цих точок.
І3. Для всякої прямої існує принаймні дві точки, кожна з яких належить цій прямій.
І4. Існують принаймні три точки, що не належать одній прямій.
І5. Для всяких трьох точок, що не належать одній і тій самій прямій, існує площина, яка належить кожній з цих точок.
І6. Для всяких трьох точок, що не належать одній прямій, існує не більш як одна площина, яка належить кожній з цих точок.
І7. Для всякої площини існує принаймні одна точка, яка їй належить.
І8. Якщо кожна з двох точок, які належать прямій а, належать і площині ?, то всяка точка, що належить прямій а, належить і площині ?.
І9. Якщо існує точка, яка належить кожній з двох площин, то існує принаймні ще одна точка, що належить кожній з цих двох площин.
І10. Існують принаймні чотири точки, що не належать одній площині.
Спираючись на доведені вище аксіоми сполучення, можна тепер строго логічно довести ряд тверджень (теорем) - наслідків цих аксіом.
ТЕОРЕМА1. Дві прямі а і b можуть перетинатися не більш як в одній точці.
? Припустимо протилежне: прямі а і b перетинаються в двох точках А, В. Тоді кожна з них належить і прямій а, і прямій b, тобто пряма а та сама, що й пряма b, і навпаки (аксіома І2). Не суперечить умові теореми. Отже, прямі а і b можуть перетинатися не більш як в одній точці.?
Домовимося:
1) замість пряма а належить кожній з точок А, В говорити, пряма а належить точкам А і В; пряма а проходить через точки А і В; точки А і В належать прямій а;
2) прямy а, що належить точкам А і В, позначати через (АВ) або (ВА);
3) записувати А)(а, якщо точка А належить прямій а і А)(а, якщо ця точка не належить площині ?.
ТЕОРЕМА2. Якщо точка С не лежить на прямій АВ, то не існує прямої, яка належить усім трьом точкам А, В, С.
? Припустимо протилежне: існує пряма а, що належить точкам А, В, С. Тоді а)(А, В і (АВ))(А, В. Отже, пряма а та сама, що й (АВ) (аксіома І2). Таким чином, (АВ))(С, що суперечить умові. ?
ТЕОРЕМА3. Для всякої площини існують принаймні три точки, що їй належать.
Розглянемо, наприклад, довення такого твердження:
Для всякої точки К, що не належить прямій р, існують принаймні три прямі, які належать точці К і перетинають пряму р (рис. 1).
?.
Існують точки А, В, які належать прямій р (аксіома І3). Візьмемо на відрізку АВ якусь точку С. Тоді за аксіомою І1 існують пряма а, яка належить точкам К і А, пряма b, яка належить точкам К і В, пряма с, яка належить точкам К і С.
Доведемо, що прямі а, b, с - різні.
Для цього припустимо протилежне: прямі а, b, с - одна і та сама пряма. В такому разі точки К, А, В належать одній прямій - прямій р, що суперечить умові теореми.
Аналогічна суперечність виникне з умовою теореми, коли припустимо, що пряма збігається з однією з прямих а, b.?
На перший погляд наведене міркування здається правильним. Проте в ньому допущено дві помилки: а) використовувалося поняття “відрізок”, яке не належить до основних і не було означене; б) без доведення стверджувалося існування точки, що належить прямій р (за аксіомою І3 існує принаймні дві точки, кожна з яких належить прямій р); існування ж третьої точки С, що належить цій прямій, слід довести, причому, як буде показано далі, цього не можна зробити на основі лише аксіом сполучення.
1.2.2 Друга група аксіом - аксіоми порядку
Точка прямої може бути у відношенні “лежати між” з двома іншими точками цієї самої прямої. Відношення “лежати між” має влативості, перелічені в аксіомах порядку.[8, c 290]
II1. Якщо точка В лежить між точкою А і точкою С (у поначеннях АВС), то точки А, В, С - три різні точки однієї прямої.
ІІ2. Якщо АВС, то СВА.
ІІ3. Для всяких двох точок А і В існує принаймні одна така точка С, що АВС.
ІІ4.3 будь-яких трьох точок, що належать одній прямій, не більш як одна лежить між двома іншими.
Розглянемо тепер на прямій а дві точки А і В.
ОЗНАЧЕННЯ1. Множина точок А і В називається відрізком АВ або ВА. Точки А і В називаються кінцями відрізка. Точки, що лежать між точками А і В, називаються внутрішніми точками відрізка АВ. Усі інші точки прямої а називаються зовнішніми точками цього відрізка. Пряма перетинає відрізок, якщо вона проходить через одну і тільки одну його внутрішню точку.
Отже, для всякого відрізка існує принаймні одна зовнішня точка (аксіома ІІ3). З аксіоми ІІ3 випливає також, що для деяких відрізків існують внутрішні точки. Справді, нехай дано точки А і В. За аксіомою ІІ3 існує точка С, що АВС, тобто для відрізка АС існує внутрішня точка - точка В.
Зауважимо, проте, що серед аксіом ІІ1-ІІ4 немає твердження про існування внутрішньої точки для всякого відрізка. У перших виданнях “Основ геометрії” Д.Гільберта воно було серед аксіом порядку. Крім того за аксіому було прийняте таке твердження: з трьох точок, що належать одній прямій, одна лежить між двома іншими.
ОЗНАЧЕННЯ2. Множина точок. А, В, С, що не лежать на оній прямій, називається трикутником АВС (ВАС, СВА і т.д.). Точки А, В, С називаються вершинами цього трикутника, відрізки АВ, ВС, АС - його сторонами. Площина, що належить вершинам А, В, С називається площиною трикутника АВС.
Аксіоми порядку вперше докладно дослідив німецький математик М.Паш у своїх “Лекціях з нової геометрії” (1882). Зокрема, наступну аксіому запропонував Паш.
II5. (аксіома Паша). Пряма, яка лежить у площині трикутника, не проходить через жодну його вершину і перетинає одну з його сторін, перетинає принаймні ще одну з його сторін.
За допомогою аксіом перших двох груп можна довести багато важливих теорем геометрії, зокрема теореми про розбиття множини точок прямої на два промені, про впорядкованість множини точок прямої, про розбиття множини точок площини на дві півплощини, а множини точок простору, на два півпростори. За допомогою аксіом перших двох груп доводиться існування кута, ламаної, многокутника, теорема Жордана про розбиття площини простою ламаною на дві області та її просторовий аналог. Отже, на аксіомах сполученння і порядку грунтується багато важливих теорем про взаємне розміщення фігур. Проте ці аксіоми не дають можливості повністю зясувати навіть питання про взаємне розміщення прямих (з них не випливає існування у площині прямих, які не перетинаються) або досліджувати конгруентність фігур.
Розглянемо деякі наслідки з аксіом сполучення і порядку.
ТЕОРЕМА4. Серед трьох точок А, В, С, що належать одній і тій самій прямій, завжди існує одна, що лежить між двома іншими.
? Нехай А не лежить між В і С, а С не лежить між А і В(рис. 2). Проведемо через точку Е, що лежить поза прямою АС (точка Е існує за аксіомою І4), і точку В - пряму, вибравши на ній точку Н так, щоб ВЕН (аксіома ІІ3).
Точки В, С і Н не лежать на одній прямій (доведення від супротивного), причому трикутник ВСН і пряма АЕ задовольняють, аксіому Паша. За цією аксіомою пряма АЕ перетинає відрізок НС в деякій точці К.
Аналогічно застосовуючи аксіому Паша до ?АВН і прямої СЕ, до ?АКН і прямої СМ, а також до ?АСК і прямої НЕ, дістанемо, що пряма СЕ перетинає відрізок АН в деякій точці М, отже АЕК і АВС. ?
Наведемо без доведення кілька теорем, які випливають з аксіом перших двох груп.
1) Пряма, яка лежить у площині трикитника не проходить через жодну з його вершин і перетинає одну із сторін, перетинає ще не більш як одну з його сторін (доповнення до аксіоми Паша).
2) Якщо АВС і ВСЕ,то АВЕ і АСЕ.
3) Якщо АВС і АСЕ, то АВЕ і ВСЕ.
4) Якщо АВD і ВСD, то АВС і АСD.
5) Між будь-якими двома точками існує зчисленна множина точок (незчисленність такої множини з аксіом І-ІІ не випливає).
ОЗНАЧЕННЯ3. Нехай А, В, О - три точки прямої. Якщо О лежить між А і В, то говорять, що А і В лежать по різні боки від О, якщо О не лежить між А і В, то говорять, що А і В лежать з одного боку від О. Множина точок прямої, що лежать з одного боку від точки О цієї прямої (разом з точкою О), називається променем з вершиною в точці О. Відкритим променем називається множина точок промення без точки О.
ТЕОРЕМА5. Кожна точка О прямої розбиває множину інших точок цієї прямої на два відкритих промені.
ОЗНАЧЕННЯ4. Нехай у площині ? дано пряму а та дві точки А і В поза нею. Говоритимемо, що точки А, В лежать з одного боку від прямої а, коли відрізок АВ не перетинає її, і що точки А, В лежать по різні боки від а, коли відрізок АВ перетинає її. Множина, що складається з точки А і всіх точок площини, які лежать з точкою А з одного боку від прямої а, називається відкритою площиною з межею а.
За допомогою аксіом перших двох груп можна довести транзитивність співвідношення “дві точки лежать з одного боку від прямої”. Це дає можливість говорити, наприклад, що відкритий промінь ОА лежить з одного боку від прямої ОВ, якщо він не належить прямій ОВ.
ТЕОРЕМА6. Кожна пряма а, яка лежить у площині ?, розбиває множину точок площини ?, що не належать ?, на дві відкритих півплощини з межею а.
Аналогічні означення й теореми легко сформулювати і для простору.
1.2.3 Третя група - аксіоми конгруентності
Ці аксіоми визначають поняття конгруентності, а тим самим - поняття руху.[8,c 293]
ІІІ1. Якщо А, В - дві точки на прямій а і А - точка на тій самій прямій або на іншій прямій а, то завжди на цій прямій можна знайти точку В, яка лежить із заданого боку від А, і таку, що відрізок АВ конгруентний відрізку АB: [AВ] [AB].
Ця аксіома говорить про можливість відкладання даного відрізка на заданому промені від його вершини А.
ІІІ2. Якщо [A1B1] [AB] і [A2B2] [AB], то [A1B1] [A2B2].
ІІІ3. Якщо АВС, АВС, [АВ] [АВ] і [ВС] [ВС], то [AC] [АC]
Ця аксіома дає можливість додавати відрізки.
ІІІ4. Будь-який кут конгруентний сам собі.
ІІІ5. Для будь-якого кута АОВ, що лежить у площині ?, і променя АО на площині ? існує із заданого боку від прямої ОА на площині ? єдиний промінь ОВ, такий, що кут АОВ конгруентний куту АОВ (у позначеннях <АОВ <АОВ).
Інакше кажучи, кожний кут можна відкласти єдиним способом (у заданій площині) від заданого променя ОА із заданого боку від прямої ОА.
ІІІ6. Якщо у трикутнику АВС і АВС має місце співвідношення: [AB] [AB], [ВС] [ВС], <АВC <АBC, то <ВAC <BAC.
Зауважимо, що в аксіомах конгруентності єдиність відкладання відрізка не вимагається, проте для кутів доводиться аксіоматизувати єдиність такого відкладання. Транзитивність конгруентності кутів, а також можливість їх додавання можна довести за допомогою аксіом. Те саме стосується властивостей конгруентності відрізків.
З аксіом І-ІІІ випливають теореми про конгруентність кутів при основі рівнобедреного трикутника, про конгруентність вертикальних кутів, про існування прямого кута і конгруентність усіх прямих кутів між собою, про існування і єдиність середини відрізка, про існування і єдиність бісектриси кута, про існування прямих і площин, що не перетинаються та інші теореми, повязані з конгруентнісю фігур.
Зокрема, з аксіом І-ІІІ випливає, що зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній, не суміжний з ним, теорема про трикутники з двома парами конгруентності відповідних сторін (проти більшого з кутів, що міститься між цими сторонами, лежить більша сторона і навпаки). Доводяться також деякі теореми про кола, зокрема про те, що пряма і коло можуть мати не більш як дві спільні точки.
Проте за допомогою аксіом I-III не можна довести незчисленність множини точок прямої та теореми про існування точок перетину двох кіл, прямої з колом, якщо пряма проходить через внутрішню точку круга. Не можна побудувати також теорію вимірювання відрізків і ввести систему координат на прямій.
Сформулюємо кілька наслідків з аксіом І-ІІІ і доведемо деякі з них.
ТЕОРЕМА7. Точка В, про існування якої сказано в аксіомі ІІІ1 - єдина.
?.Припустимо протилежне: на прямій а існують дві точки В і В*, що задовольняють аксіому ІІІ1 (рис. 3): [AB] [AB] і [AB] [AB*]. Візьмемо точку С поза прямою АВ.
За аксіомою ІІІ5 у площині ? із заданого боку від прямої а (виберемо її довільно) існує такий промінь АМ, що <САВ < МАВ.
За аксіомою ІІІ1 на промені АМ існує така точка С, що [АС] [АС].
АВС і АВС -трикутники, у яких [СА] [СА], [АВ] [АВ], <САВ <САВ. (1)
Згідно з аксіомою ІІІ6 <АСВ< АСВ (2)
[СА] [СА], [АВ] [АВ], <САВ < САВ. (3)
Згідно з аксіомою ІІІ6 <АСВ < АСВ (4)
Очевидно, що співвідношення (2) і (4) суперечать аксіомі ІІІ3, що промені СВ і СВ* різні та лежать з одного боку від прямої СА. ?
ТЕОРЕМА8. Відношення конгруентності відрізків має властивості рефлексивності, симетричності, транзитивності.
ТЕОРЕМА9. Якщо А і В- точки на різних сторонах кута, то всякий промінь, який проходить всередині кута з початком в його вершині перетинає відрізок АВ і навпаки.
ТЕОРЕМА10. Якщо АВС, АВС, [АВ] [АВ] і [АС] [АС], то [ВС] [ВС] (теорема про віднімання відрізків).
ОЗНАЧЕННЯ1. Трикутник називається конгруентним трикутнику АВС, якщо [АВ] [АВ], [АС] [АС], [ВС] [ВС], <А<А, <В<В, <С<С.
1.2.4 Четверта група аксіом - аксіоми неперервності
Пряму і коло учні інтуїтивно уявляють неперервними. Протягом багатьох століть уявлення про неперервність прямої були лише інтуїтивними. І тільки в середині 19 століття виникло питання про означення цього поняття. У працях Дедекінда, Вейєрштраса, Кантора і Гільберта поняття неперервності дістало різнобічну логічну обробку.
Як аксіоми неперервності для обгрунтування евклідової геометрії можуть бути прийняті твердження Архімеда і Кантора.
ІV1. (Твердження Архімеда). Для будь-яких відрізків АВ і СD на прямій існує скінченне число точок А1, А2, ..., Аn, розміщенних так, що точка А1 лежить між А і А2, точка А2 між А1 і А3, і так далі, при чому відрізки АА1, А1А2, ..., Аn-1An контруентні відрізку СD і точка В лежить між точками А і Аn.
IV2. (Твердження Кантора). Якщо в нескінченній послідовності відрізків А1В1, А2В2, ... , з яких кожний наступний лежить усередині попереднього,для будь-якого наперед заданого відрізка СD знайдеться відрізок АnBn, менший за відрізок СD, то існує точка М, яка лежить усередині всіх відрізків А1В1, А2В2, ....
1.2.5 Пята група - аксіома паралельних
Можна довести, що для будь-якої точки А, що лежить поза прямою ВС, існує пряма яка проходить через точку А і паралельна прямій ВС. Чи єдина ця пряма? Це, на перший погляд просте питання, виявилось дуже складним. Зазначимо лише, що аксіома паралельних у евклідовій геометрії відповідає на це позитивно.
V (аксіома паралельних). До кожної точки А, що не лежить на прямій ВС, у площині АВС існує не більш як одна пряма, яка належить точці А і не перетинає пряму ВС.
За допомогою цієї аксіоми відразу доводиться теорема про конгруентність внутрішніх відповідних кутів, утворених двома паралельними і січною, теорема про суму кутів трикутника в евклідовій геометрії.
ТЕОРЕМА11. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам.
Інші теореми евклідової геометрії дістаємо як логічні наслідки аксіом І-V. Зокрема, аксіоми I-V обгрунтовують декартотову аналітичну геометрію. Отже, з аксіоматичної точки зору евклідова геометрія є множина аксіом І-V та їх логічних наслідків. Вона вивчає властивості будь-яких обєктів і відношень, які задовольняють цю систему аксіом.
1.2.5 Аксіома паралельних та еквівалентні їй твердження
В аксіоматиках О.М.Колмогорова, О.В.Погорєлова і Л .С Атанасяна останньою по порядку аксіомою формулюється аксіома паралельних. Множину передуючих їй аксіом в кожній з цих аксіоматик називають системою аксіом абсолютної планіметрії. Взагалі, якщо маємо деяку систему аксіом геометрії Евкліда, то виключенням з цієї системи аксіоми паралельних або її еквівалента, отримаємо систему аксіом абсолютної геометрії. Значить, абсолютною геометрією називають ту частину геометрії Евкліда, в якій доведення теорем не спираються на аксіому паралельних.
В підручниках Л.С.Атанасяна та О.М.Колмогорова наведенні деякі доведення теорем, що відносяться до абсолютної геометрії. Перелічимо деякі з них.
ТЕОРЕМА12. Довжина простої ламаної більша відстані між її кінцями.
ТЕОРЕМА13. Два кола можуть не мати спільних точок, можуть мати одну або дві спільні точки.
ТЕОРЕМА14. Через довільну точку можна провести одну і тільки одну пряму, перпендикулярну даній прямій.
ТЕОРЕМА15. Множина точок, рівновіддалених від кінців відрізка, є серединний перпендикуляр до цього відрізка.
ТЕОРЕМА16. Множина точок опуклого кута, рівновіддалених від його сторін є бісектриса цього кута.
ТЕОРЕМА17. Відстань від точки до її проекції на пряму менша за відстань від цієї точки до довільної іншої точки даної прямої (перпендикуляр коротший за похилу).
ТЕОРЕМА18. Коло і пряма можуть не мати спільних точок, мати одну або дві спільні точки.
ТЕОРЕМА19. Якщо пряма перпендикулярна до радіуса кола і проходить через його кінець, що лежить на колі, та вона дотикається до цього кола і навпаки.
Вкажемо ще декілька теорем абсолютної планіметрії, якими скористаємося надалі.
ТЕОРЕМА20. (Теорема про зовнішній кут трикутника). Зовнішній кут трикутника більший за кожний з внутрішніх, з ним не суміжних.
?. Нехай дано трикутник (рис. 4). Доведемо, що зовнішній кут при вершині С більший за внутрішній кут при вершиш В.
Позначимо літерою О середину відрізка ВС. На продовженні відрізка АО відкладемо відрізок ОD, рівний відрізку АО. Розглянемо ?АОВ і ?DОС. В них <АОВ=<DOC, АО=ВО, AO = DO, OB=OC. Oтже, ?АОВ=?DOC і <ABO=<DОС. Але <DОС є лише частиною зовнішнього кута ВСМ при вершині С. Значить, <DСО менший кута ВСМ. Oтже, <АВО також менший за <ВСМ. Аналогічно доводиться , що < ВСМ більший за внутрішній кут при вершині А.?
ТЕОРЕМА21. Два перпендикуляри до однієї й тієї ж прямої паралельні.
? Нехай прямі АВ і СD - перпендикуляри до прямої р (рис. 5).
Припустимо, що вони перетинаються в точці М. Тоді в ?АМС зовнішній кут при вершині С дорівнює внутрішньому куту при вершині A (обидва прямі), що протирічить теоремі про зовнішній кут трикутника.?
ТЕОРЕМА22. Якщо при перетині двох прямих третьою утворюються рівні відповідні кути, то ці прямі паралельні.
Припущення
супротивного призводить до протиріччя з теоремою про зовнішній кут трикутника.
ТЕОРЕМА23. Якщо при перетині двох прямих третьою утворюються внутрішні односторонні кути, що в сумі складають два прямих кути, то ці прямі паралельні.
ТЕОРЕМА24. Через точку С, що лежить поза прямою АВ можна завжди провести промінь СЕ, що перетинає пряму АВ в такій точці Р, що <АРС буде як завгодно малим.
Доведення цих теорем ми не приводимо, тільки підкреслюємо, що кожна з них доводиться без використання аксіоми паралельних.
В “Початках” Евкліда прийнято без доведення як аксіому наступне твердження (пятий постулат): кожний раз, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними внутрішні односторонні кути, сума яких менша за два прямих кути, ці прямі перетинаються з того боку, з якого ця сума менша за два прямих кути (рис. 6).
ТЕОРЕМА25. Пятий постулат еквівалентний відносно аксіом абсолютної геометрії твердженню Прокла-Плейфера: “через точку, що лежить поза прямою, проходить не більше однієї прямої, паралельної до цієї прямої”.
Еквівалентність цього твердження пятому постулату була відмічена грецьким вченим Гіроклом (410-485). У виданні “Початків”, що пристосовано для вивчення в школі, в такій формі аксіому паралельних сформулював англійський математик Плейфер в 1795 році. Надалі пропозицію Прокла-Плейфера будемо називати аксіомою паралельних, як це прийнято в сучасній літературі.
Але на жаль в аксіоматиці Гільберта є деякі недоліки. Головне - це те, що вона внутрішньо ніяк не звязана з поняття векторного простору, яке в наш час відіграє в математиці надзвичайно важливу роль.
Можна сказати, що при визначенні структури простору Е3 Гільберт бере ту ж базу Е, F, G, яка була у Евкліда, виділяє основні відношення (що не було зроблено Евклідом та й не могло бути зроблене ним при такому стані математики, який вона мала в епоху Евкліда), і дає список аксіом, які описують властивості цих відношень. Таким чином, аксіоматика Гільберта призвичаєна до побудови геометрії простору Е3 “в дусі самого Евкліда”.