1.4 Аксіоматика О.В. Погорєлова

У передмові до книги “Основи геометрії” О. В. Погорєлов зазначає, що з метою покращення професійної підготовки вчителя математики у курсі основ геометрії для університетів та педагогічних інститутів доцільно в аксіомах Гільберта замінити групи аксіом порядку і конгруентності еквівалентними їм групами аксіом -- замість аксіом порядку ввести систему аксіом, що грунтується на відношенні слідування для пар точок, а замість аксіом конгруентності -- аксіоми руху.[1,c. 89]

Вихідними поняттями геометрії у системі аксіом Погорєлова є: “точка”, “пряма”, “площина”, “належність”, “напрям”, “передувати”, “рух”.

Аксіоми порядку означають поняття: “напрям” і “передувати”.

Вважається, що на прямій є два взаємно протилежних напрями і щодо кожного з них будь-яка пара точок перебуває у відношенні “передувати”. Вираз “A передує В” записують так: A < В.

II. Аксіоми порядку.

ІІ1. Якщо А < В в одному напрямі, то В < А у протилежному напрямі.

ІІ2. В одному з двох напрямів А < В виключає В < А.

ІІ3. В одному з двох напрямів, якщо А < В, а В < С, то А < С.

ІІ4. В одному з двох напрямів для кожної точки В знайдуться такі точки А і С, що А < В < С.

Якщо для точок А, В і С виконується умова А < В < С або С <В < А, то точка В лежить між точками А і С.

Множина точок А і В і всіх точок, які лежать між А і В, називається відрізком АВ, або ВА, а точки А і В - кінцями відрізка.

ІІ5. Пряма а, що лежить у площині ?, розбиває цю площину на дві частини (півплощини) так, що коли X і Y -- дві точки однієї півплощини, то відрізок XY не перетинається з прямою а, якщо ж X і Y належать різним півплощинам, то відрізок ХY перетинається з прямою а.

А от аксіоми руху, по суті, збігаються з аксіомами III1*--III3*, які наводить Ф. Шура. Тобто:

ІІІ1*. Рух є перетворенням простору, при якому точка відображається на точку, пряма -- на пряму, площина -- на площину.

III2*. Множина всіх рухів є групою.

ІІІ3*. Рух зберігає відношення “належність” і “лежати між».

В сучасних підручниках з геометрії для середньої школи в основу побудови курсу покладені системи аксіом, які відрізняються від системи ?н і від системи ?w.[3,c.300]

Розглянемо тепер систему аксіом, яка запропонована в навчальному курсі з геометрії для IV-X класів середньої школи Погорєлова. Для спрощення викладу обмежимося розглядом системи аксіом планіметрії. Тут база структури евклідової площини Е2 складається з трьох множин Е, F R. Елементи з E називаються точками, а елементи з F - прямими, R - множина дійсних чисел. Множини E і F виступають як основні, а множина R - допоміжна.

Основними відношеннями виступають наступні чотири відношення: “належність точки і прямої”, “лежати між трьох точок однієї прямої”, “довжина відрізка”, “градусна міра кута”.

Ця система аксіом, яку ми позначимо через ?р, складається з девяти аксіом, які розбиті на шість груп.

І. Аксіоми належності.

І1. Для будь-яких двох точок, існує пряма, яка проходить через ці точки і до того ж тільки одна.

І2. На кожній прямій лежать принаймні дві точки. Існує три точки, які не лежать на одній прямій.

ІІ. Аксіоми порядку.

ІІ1. Із трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими. На основі цієї аксіоми виводиться поняття відрізку. Відрізком АВ називається множина точок прямої, які лежать між точками А і В.

ІІ2. Пряма розбиває множину точок площини, які їй не належать, на дві підмножини (півплощини) так, що відрізок, який зєднує точки однієї півплощини, не перетинається прямою, а відрізок, який зєднує точки різних півплощин перетинається з прямою.

Потім виведемо поняття промення і трикутника. Променем АВ з початком А називається множина точок, які складаються з точки В і будь-якої точки М прямої АВ, такої, що точка А не лежить між точками В і М.

Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які по-парно їх зєднують. Використовуючи аксіому І2, можна переконатись в тому що в теорії Г(?w) має місце теорема, яка в аксіоматиці Гільберта приймається за аксіому Паша.

ІІІ. Аксіоми міри для відрізків і кутів.

Позначимо через L множину всіх відрізків, а через - множину всіх додатних чисел.

ІІІ1. Якщо вибраний деякий відрізок EF, то існує відображення l : L, таке що, виконуються дві умови: а) якщо точка С лежить між точками А і В, то l(AC)+l(CB)=l(AB); б) l(EF)=1.

Якщо l: L відображення при іншому виборі відрізка EF, то з рівності l(AB)=l(CD) випливає: l(AB)=l(CD).

Число l(AB) називається довжиною відрізка АВ, а відрізок EF - одиничним відрізком.

Позначимо через ? множину всіх кутів.

ІІІ2. Існує відображення таке, що виконуються дві умови: а) якщо промінь l проходить між сторонами кута hk, то (hl) + (lk)= (hk); б) якщо hk - розгорнутий кут, то (hk) = 180.

Число (hk) називається градусною мірою кута hk.

IV. Аксіома існування трикутника рівного даному.

Два відрізки називаються рівними, якщо при будь-якому виборі одиничного відрізка їх довжини рівні. Два кута називаються рівними, якщо вони мають одну і ту ж градусну міру. Трикутники АВС і А1В1С1 називаються рівними, якщо виконуються рівності : А=В, В=С, С=А, АВ=А1В1, ВС=В1С1, АС=А1С1.

За допомогою цієї аксіоми можна довести два твердження:

1. На даному промені від його початку можна відкласти відрізок, рівний даному відрізку і тільки один.

2. Від даного промення в задану півплощину з межею, яку містить цей промінь, можна відкласти кут, рівний даному куту, і до того ж тільки один.

V. Аксіома існування відрізка даної довжини.

Якщо вибраний одиничний відрізок, то яким би не було дійсне число d>0, існує відрізок довжини d.

Використовуючи цю аксіому і твердження 1 і 2, можна довести наступні два твердження, які з методичних міркувань в підручнику для середньої школи прийняті за аксіоми (IV1 і IV2 ).

3. На даному промені можна відкласти відрізок заданої довжини, і до того ж тільки один.

4. Від даного промення в дану півплощину з межею, яка містить даний промінь, можна відкласти кут з заданою градусною мірою, меншою 180, і до того ж тільки один.

IV. Аксіома паралельних.

Дві прямі на площині називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

VI. Через точку, яка не належить даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, яка паралельна даній.

Теорема. Система аксіом ?р несуперечна, якщо несуперечна арифметика фійсних чисел.