2.3 Аксіоми Колмогорова
Розглянемо тепер систему аксіом запропоновану академіком А. М. Колмогоровим.[6,c.235]
Вихідними поняттями планіметрії в його системі вважаються три: „точка”, „пряма” і „відстань від однієї точки до іншої”. Множина всіх розглядуваних точок називається площиною.
Крім основних понять планіметрії, ми користуємося поняттями числа, множини і величини. Зауважимо також, що при побудові планіметрії будемо вважати відомими правила логіки і загальні властивості чисел, множин і величин. Аксіоми планіметрії розбиваються на пять груп.
І. Аксіоми належності.
І1. Кожна пряма є множина точок.
І2. Для будь-яких двох відмінних одна від одної точок існує одна і тільки одна пряма, що їх містить.
І3. Існує принаймні одна пряма і кожній прямій належить хоча б одна точка.
ІІ. Аксіоми відстані.
ІІ1. Для будь-яких двох точок А і В існує невідємна величина, яка називається відстанню від А до В. Відстань дорівнює нулеві тоді і тільки тоді, якщо точки А і В збігаються. Відстань від А до В позначається |АВ|.
II2. Для будь-яких точок А і В відстань від А до В дорівнює відстані від В до А.
ІІ3. Для довільних трьох точок А, В, С відстань від А до С не більша за суму відстаней від А до В і від В до С: |АС| < |АВ| + |ВС|.
ІІІ. Аксіоми порядку.
ІІІ1. Будь-яка точка О прямої р розбиває множину всіх відмінних від О точок прямої р на дві непорожні множини так, що: а) для будь-яких двох точок А і В, що належать різним множинам, точка О лежить між А і В; б) коли точки А і В належать одній і тій самій множині, то одна з них лежить між другою точкою і точкою О.
Кожна з двох множин, про які йдеться в аксіомі ІІІ1 називається відкритим променем з початком О.
ІІІ2. Для будь-якої відстані а на заданому промені з початком О існує одна і тільки одна точка А, відстань якої від точки О дорівнює а.
ІІІ3. Якщо точка С лежить між точками А і В, то точки А, В, С належать одній прямій.
ІІІ4. Будь-яка пряма р розбиває множину точок площини, які не належать їй, на дві непорожні множини так, що: а) будь-які дві точки, що належать різним множинам, розділені прямою р; б) будь-які дві точки, що належать одній і тій самій множині, не розділені прямою р.
Кожна з двох множин, про які йдеться в аксіомі ІІІ4, називається відкритою півплощиною з межею р.
Коротко говоритимемо, що аксіома ІІІ4 є аксіома про розбиття множини точок, які не належать одній прямій, на дві півплощини.
IV. Аксіома рухомості площини (аксіома переміщення).
OЗНАЧЕННЯ2. Переміщенням називається відображення площини на себе, що зберігає відстані.
IV. Якщо відстань |АВ| додатна і дорівнює відстані |А1В1|, то існує два і тільки два переміщення, кожне з яких відображає точку А на точку А1, а точку В -- на точку В1. Якщо а -- півплощина з межею АВ, то вона цими переміщеннями відображається на дві різні півплощини ? і ? з межею А1В1.
V. Аксіома паралельних.
V. Через точку А проходить не більш як одна пряма, паралельна даній прямій.