logo
Построение порождающего полинома циклического кода по его корням (степеням корней)

2. О циклических кодах и корнях порождающего полинома с точки зрения конечных полей

  • Следует отметить, что в данном разделе будет рассмотрено описание циклических кодов с точки зрения конечных полей только в рамках нахождения порождающего полинома. Наиболее понятное полное рассмотрение циклических кодов с точки зрения конечных полей можно найти в книге [2].
  • Теорема 3. Циклический код длины n с порождающим полиномом g(x) существует тогда и только тогда, когда g(x) делит .
  • Следствие из теоремы 3. Порождающий полином циклического кода длины n можно найти, разложив полином на простые множители:
  • где s - число простых множителей. Произведение произвольного подмножества этих множителей дает порождающей многочлен g(x). Если g(x) - порождающий полином, то он делит , и, следовательно, . Полином g(x) можно найти, найдя все его простые делители.
  • Простые делители есть не что иное, как функции минимума или минимальные полиномы. Таким образом, зная корни минимальных полиномов, можно легко найти порождающий полином кода. Исходя из сказанного в предыдущих разделах, можно сделать вывод, что поле как раз содержит корни минимальных полиномов, а следовательно содержит корни порождающего полинома.
  • Резюме:
  • 1. Порождающий полином не что иное, как произведение его простых делителей .
  • 2. Пусть - корень полинома. Тогда не что иное, как функция минимума для .
  • 3. Имея корни полиномов - делителей g(x) можно найти их функции минимума, и следовательно найти g(x) .
  • 4. содержит корни g(x).
  • Таким образом, нахождение порождающего полинома по степеням его корней сводится к нахождению минимальных полиномов для элементов поля с соответствующей степенью.
  • ,
  • где минимальный полином.