Предел последовательности. Теорема Штольца и ее применение

курсовая работа

1.4 Свойства предела последовательности

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство. Пусть последовательность xn сходится. Предположим, что её предел не является единственным, то есть что одновременно верны равенства:

xn = b иxn = c, где bc.

Это значит, что все члены последовательности, кроме, быть может, конечного числа, лежат в любой окрестности как точки b, так и точки с. Чтобы прийти к противоречию этого предложения, выберем непересекающиеся окрестности (b - е, b + е) и (с - е, с + е) точек b и c.

Рис. 2

По предположению, обе эти окрестности содержат все члены последовательности, кроме конечного числа. Но тогда, начиная с некоторого номера N, все члены последовательности должны были бы принадлежать обеим окрестностям. А это невозможно, так как окрестности не имеют общих точек. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно, и поэтому b = c.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Пусть xn = b. Воспользуемся определением последовательности "на языке бесконечно малых ". Имеем xn = b + an, где an - бесконечно малая последовательность. Стационарная последовательность b и бесконечно малая последовательность an являются ограниченными, тогда и их сумма также ограничена, то есть xn - ограничена.

Что и требовалось доказать.

Теорема 3. (О предельном переход в неравенствах). Если последовательность xn и yn сходятся и xn ? yn для всех n, то

xn ? yn,

Доказательство. Пусть xn = b, yn = с. Воспользуемся определением предела "на языке е -N". предположим противное, что b > c. Выберем е > 0, так чтобы, выполнялось неравенство: с + е < b - е. Поскольку xn = b, то существует номер N, начиная с которого выполняется неравенство | xn - b| < е, или, что - то же самое,

b - е < xn < b + е (I)

Рис. 3

Аналогично, так как yn = c, то существует номер N, начиная с которого выполняется неравенство | yn - c| < е, или

с - е < yn < с + е (II)

Обозначим наибольшее из чисел N, N, через N. Тогда при n ? N будут выполнены неравенства (I) и (II). Поэтому yn < с + е < b - е < xn, то есть xn > yn, что противоречит условию xn ? yn для всех n. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, b ? c. Что и требовалось доказать.

Замечание. Теорема 3 верна только для нестрогих неравенств: xn < yn, не следует, что

xn < yn,

Рассмотрим, например, две последовательности: xn = и yn =. Ясно, что xn < yn, но xn = yn = 0. В то же время этот пример противоречит теореме о предельном переходе под знаком нестрогого неравенства вместо xn < yn можно написать xn ? yn, а вместо xn < yn можно написать xn ? yn. Тогда получаем

xn ? yn xn ? yn.

Следующие два свойства вытекают непосредственно из теоремы о предельном переходе в неравенстве.

Следствие1. Если все члены последовательности неотрицательны, то предел последовательности есть неотрицательное число.

Следствие 2. Если все члены сходящейся последовательности неположительны, то предел последовательности есть неположительное число.

Теорема 4. (О промежуточной переменной или о двух постовых).

Если xn = yn b и для всех n справедливо неравенство xn ? yn ? zn, то yn = b.

Доказательство. Воспользуемся определением предела "на языке е -N". Возьмем произвольное е > 0. Так как yn = b, то, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство |xn - b| < е, или что - то же самое,

b - е < xn < b + е (III)

Аналогично, поскольку zn = b, начиная, с некоторого номера N будет выполняться неравенство |zn - b| < е, или что - то же самое,

b - е < zn < b + е (IV)

Обозначим через N наибольший из номеров N, N, получим, что для всех n ? N будет выполнены неравенства (III) и (IV). Воспользовавшись ими и заданным неравенством xn ? yn ? zn, получим

b - е < xn ? yn ? < b + е.

Итак, мы доказали следующее:

(е > 0) ( N) (n ? N) | yn - b| < е,

а это означает, что yn = b. Что и требовалось доказать.

Признаки существования предела последовательности

Выше было доказано, что любая сходящаяся последовательность является ограниченной. Однако, не всякая ограниченная последовательность имеет предел. Например, ограниченная последовательность 0, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, 1, … не имеет предела.

Одним из условий, обеспечивающих существование предела, является монотонность ограниченной последовательности.

Пример 1.

Последовательность , , , …, , …ограничена и возрастает. Эта последовательность также сходится: =1.

Пример 2.

Последовательность 1, , , …, , … ограничена и убывает. Эта последовательность также сходится: =0.

Таким образом, совокупность двух указанных признаков (ограниченность и монотонность) являются достаточным условием сходимости последовательности. То есть, справедливы следующие теоремы.

Теорема 5. Если последовательность возрастает (хотя бы в нестрогом смысле) и ограничена сверху, то она сходится.

Доказательство. Согласно условию, последовательность xn ограничена сверху, всякое ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань:

b=sup (xn).

Рассмотрим произвольную е- окрестность точки b.

Так как b - е уже не является верхней границей для множества xn, то найдется номер N такой, что xn > b - е. По условию, последовательность xn возрастает: ? ? ?….

Значит, все члены с номерами, большими N, находятся между xn и b (b- одна из границ), то есть, во всяком случае, все они принадлежат е- окрестность точки b. На "языке окрестностей" это и означает, что xn = b. Что и требовалось доказать.

Теорема 6. Если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится.

Данная теорема доказывается аналогично.

Второй замечательный предел

,

где e - Эйлерово число.

Доказательство. Рассмотрим дополнительную последовательность

.

Теперь докажем, что последовательность

xn = :

1) Монотонна (убывающая),

2) Ограничена снизу.

Для того чтобы выполнялось условие 1, достаточно показать: > 1. Тогда получаем:

>

·.

Показали, что > 1, следовательно последовательность убывающая.

Для того чтобы выполнялось условие 2, необходимо найти число m, такое что xn ?m - нижнюю границу. Применяя неравенство Бернулли для (при nN и для всех h > -1 выполняется неравенство ) получаем:

,

тогда m=2.

Значит, последовательность ограничена снизу числом 2. Таким образом, два условия выполнено, следовательно, последовательность имеет предел, который обозначили Эйлеровым числом ?. То есть

.

Тогда найдем предел этой последовательности при

n > 0, имеем

== = = e

Следовательно, .

Число ? является одним из самых замечательных чисел в математике. Чтобы вычислить ?, надо взять достаточно большое значение значения n и вычислить . Однако, этот путь вычислений очень утомителен. Чтобы, например, получить ответ с точностью до 0,001, надо взять примерно n = 3000. Ясно, что возводить чисто 1+ в 3001 степень весьма затруднительно. Существует более простые и быстрые методы вычисления. Вот несколько первых десятичных знаков иррационального числа ?:

? = 2,7182818284590….

Вычисление многих пределов последовательностей связано с числом ?. При этом используем следующее утверждение:

Если an = a и bn = b, причем хотя бы одно из чисел a, b отлично от нуля, то

.

Делись добром ;)