2.3 Применение предела последовательности в физике и геометрии

Нам знакомы приложения теории пределов в геометрии. Например, площадь круга, объем цилиндра, конуса и шара были определены, а затем и вычислены как соответствующие пределы.

Укажем другой способ использования понятия предела в решении задач, который называется методом суммирования. Покажем идею этого метода на решение некоторых задач физики. При решении мы будем пользоваться известными формулами суммы квадратов этих чисел. Записывать соответствующие суммы для краткости будем с помощью специального знака (греческая буква «сигма»). Таким образом,

.

Пример 28.

Определить давление р, производимое водой, наполняющей аквариум, на одну из его вертикальных стенок, имеющих длину а=50 см., высоту b=30 см.

Решение. Согласно закону Паскаля давление жидкости распространяется во все стороны равномерно и направлено всюду перпендикулярно к поверхности сосуда. Величина этого давления на площадку равна весу столба жидкости, высота которого равна глубине этой площадки, а основание - её площади.

Кроме того, если стенку разбить на отдельные полоски, то давление на всю стенку будет совпадать с суммой давлений на эти полоски. Этим мы и воспользуемся для решения задачи.

Чтобы подсчитать давление на стенку аквариума, мы разобьем её высоту b на n равных частей и через точки деления проведем отрезки, параллельные стороне а.

В результате вся стенка аквариума разобьется на тонкие горизонтальные слои в форме прямоугольников со сторонами а и (рис 4.)

Рис. 4

При достаточно не большом n высота горизонтального слоя, равная , будет очень малой, и мы можем считать, что все точки k-го слоя находятся на одной и той же глубине, равной