2.1 Решения задач о типах сходимости

1.Доказать что из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности. Привести контрпример, показывающий, что обратное не верно.

Решение. Пусть последовательность случайных величин ,…,,… сходится к случайной величине почти наверное. Значит, для любого 0

=0

Так как , то

P()P()

и из сходимости к почти наверное вытекает, что сходится к по вероятности так как в этом случае

=0

Но обратное утверждение неверно. Пусть,,…,,… - последовательность независимых случайных величин, имеющих одну и ту же функцию распределения F(x), равную нулю при x0 и равную 1 при x0.Рассмотрим последовательность

= ,= ,…,= …

Эта последовательность сходится к нулю по вероятности, так как

P() = 1P() = 1F() =

стремится к нулю при любом фиксированном и n. Однако сходимость к нулю почти наверное иметь место не будет. Действительно,

P = 1P() = 1P() =

= 1 = 1 = 1

Стремится к единице с вероятностью 1при любых и n в последовательности ,,…,,… найдутся реализации, превосходящие .

Отметим, что при наличии некоторых дополнительных условий, накладываемых на величины , сходимость по вероятности влечет сходимость почти наверное.

2.Пусть монотонная последовательность. Доказать, что в этом случае сходимостьк по вероятности влечет за собой сходимость к с вероятностью 1.

Решение. Пусть монотонно убывающая последовательность, то есть …… . Для упрощения наших рассуждений будем считать, что 0, 0 при всех n. Пусть сходится к по вероятности, однако сходимость почти наверное не имеет место. Тогда существует 0, такое, что при всех n

0.

Но = и сказанное означает, что при всех

0.

Что противоречит сходимости к по вероятности. Таким образом, для монотонной последовательности , сходящейся кпо вероятности, имеет место и сходимость с вероятностью 1 (почти наверное).

3. Пусть последовательность n сходится к по вероятности. Доказать, что из этой последовательности можно выделить последовательность , сходящуюся к с вероятностью 1 при .

Решение. Пусть - некоторая последовательность положительных чисел, причем , и - такие положительные числа, что ряд . Построим последовательность индексов n1<n2<…<nk<… , выбирая nk так, чтобы

Тогда ряд

,

Так как ряд сходится, то при любом е остаток ряда стремится к нулю. Но тогда стремится к нулю и

,

то есть .

4. Доказать, что из сходимости в среднем какого либо положительного порядка следует сходимость по вероятности. Приведите пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Решение. Пусть последовательность n сходится к величине в среднем порядка р> 0, то есть

.

Воспользуемся обобщенным неравенством Чебышева: для произвольных е и р> 0

.

Устремив и учитывая, что , получим, что

,

то есть n сходится к по вероятности.

Однако сходимость по вероятности не влечет за собой сходимость в среднем порядка р> 0. Это показывает следующий пример. Рассмотрим вероятностное пространство , ,, где = [0, 1] - борелевская -алгебра, - мера Лебега.

Определим последовательность случайных величин следующим образом:

Последовательность n сходится к 0 по вероятности, так как

,

но при любом р> 0

,

то есть сходимость в среднем иметь не будет.

5. Пусть , при чем для всех n. Доказать, что в этом случае n сходится к в среднеквадратическом.

Решение. Заметим, , то и . Получим оценку для. Рассмотрим случайную величину . Пусть е - произвольное положительное число. Тогда при и при .

Значит,

.

Если , то и . Следовательно, . А поскольку е сколь угодно мало и , то при , то есть в среднеквадратическом.

6. Доказать, что если n сходится к по вероятности, то имеет место слабая сходимость . Приведите контрольный пример, показывающий, что обратное утверждение неверно.

Решение. Докажем, что если , то в каждой точке х, являющейся точкой непрерывности (это необходимое и достаточное условие слабой сходимости ), - функция распределения величины n, а - величины .

Пусть х - точка непрерывности функции F. Если , то справедливо по крайней мере одно из неравенств или . Тогда

.

Аналогично, присправедливо хотя бы одно из неравенств или и

,

Или

.

Откуда

.

Если , то для сколь угодно малого е существует такое N, что при всех п> N

.

Тогда

С другой стороны, если х- точка непрерывности то можно найти такое е , что для сколь угодно малого

И

.

Значит, для сколь угодно малых е и существует такое N, что при п>N

,

Или

,

или, что то же самое,

.

Это означает, что во всех точках непрерывности имеет место сходимость и . Следовательно, из сходимости по вероятности вытекает слабая сходимость.

Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места. Чтобы убедиться в этом, возьмем последовательность случайных величин ,, не равных с вероятностью 1 постоянным и имеющих одну и ту же функцию распределения F(x). Считаем, что при всех п величины и независимы. Очевидно, слабая сходимость имеет место, так как у всех членов последовательности одна и та же функция распределения. Рассмотрим :

|Из независимости и одинаковой распределенности величин , следует, что

.

то есть

Выберем среди всех функций распределений невырожденных случайных величин такую F(x), что будет отлично от нуля при всех достаточно малых е. Тогда не стремится к нулю при неограниченном росте пи сходимость по вероятности иметь место не будет.

7. Пусть имеет место слабая сходимость , где с вероятностью 1 есть постоянная. Доказать, что в этом случае будет сходиться к по вероятности.

Решение. Пусть с вероятностью 1 равно а.Тогда слабая сходимость означает сходимость при любых .Так как , то при и при . То есть при и при . Отсюда следует, что для любого е вероятности

и

стремятся к нулю при. Это значит, что

стремится к нулю при, то есть сходиться к по вероятности.

2.2 Решение задач на центральную предельную для независимых одинаково распределенных случайных величин

8. В результате технической проверки 900 электроприборов установлено, что в среднем срок безотказной работы приборов увеличился на 1,2 года по сравнению со средним сроком безотказной работы приборов, полученных по итогам предыдущих проверок. Можно ли объяснить случайностью подобное отклонение, если считать среднеквадратичное отклонение срока безотказной работы электроприборов равным 8 годам?

Решение

Обозначим через срок безотказной работы -го электроприбора, и будем рассматривать последовательность случайных величин , для которых , , .

Введем обозначение .

Так как , - независимые одинаково распределенные случайные величины, то к ним применима центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин, которая устанавливает равномерную относительно () сходимость

,

где - функция стандартного нормального распределения.

При больших () имеет место приближенное равенство

.

Вычислим вероятность того, что срок безотказной работы приборов увеличится более чем на 1,2 года по сравнению со сроком работы приборов:

.

Ответ: полученная вероятность очень мала, и мы можем сделать вывод, что нельзя объяснить случайностью данное отклонение.

9. Интеграл вычислен методом Монте-Карло. Сколько опытов нужно произвести, чтобы с вероятностью большей 0,99, можно было считать абсолютную погрешность вычисления значения интеграла не превосходящей 0,1% от?

Решение

Значение интеграла можно рассматривать как математическое ожидание функции от случайной величины , где - случайная величина, равномерно распределенная на с плотностью .

Пусть - независимые равномерные на случайные числа. Тогда можно рассматривать как приближенное значение интеграла значение случайной величины

.

Вычислим

;

.

Так как - независимые и одинаково распределенные случайные величины, имеющие конечные дисперсии:

,

то к этим случайным величинам применима ЦПТ:

.

Введем . При больших ()

.

Из условия задачи , вероятность такой погрешности больше 0,99:

;

, , ,

, .

Ответ: необходимо произвести не менее опытов.

10. Интеграл вычислен методом Монте-Карло на основании 1000 независимых опытов. Найти вероятность того, что абсолютная погрешность в определении величины не превосходит 0,01.

Решение

Значение интеграла можно рассматривать как математическое ожидание функции случайной величины , где - случайная величина, равномерно распределенная на . Пусть - независимые равномерные на случайные числа. Тогда можно рассматривать как приближенное значение интеграла значение случайной величины

.

Вычислим

,

.

Так как - независимые и одинаково распределенные случайные величины, имеющие конечные дисперсии , то к этим случайным величинам применима ЦПТ:

.

Введем . При больших ()

.

Из условия задачи: , , следовательно

.

Ответ: искомая вероятность равна 0,712.