Представление функции рядом Фурье
Представление функций рядом Фурье
Наложим на функцию f(x) более тяжелое требование, а именно--предположим ее кусочно-дифференцируемой в промежутке .
Тогда имеет место общая теорема:
Теорема. Если функция f(x) с периодом кусочно-дифференцируема в промежутке , то ее ряд Фурье в каждой точке сходится и имеет сумму
Эта сумма, очевидно, равна , если в точке функция непрерывна.
Доказательство. Отметим, что равенство (14) имеет место для каждой функции f(x), удовлетворяющей поставленным условиям. Если, в частности, взять , то , и из (14) получим, что
Умножая обе части равенства на постоянное число и вычитая результат из (14), найдем
для нашей цели нужно доказать, что интеграл справа при стремится к нулю.
Представим его в виде
(15)
где положено
(16)
если бы нам удалось установить что эта функция кусочно-непрерывна, то из леммы предыдущего параграфа следовало бы уже, что интеграл (15) имеет предел нулю при . Но в промежутке функция g(x) вообще непрерывна, за исключением разве лишь конечного числа точек, где она может иметь скачки--ибо такова функция f(x). Остается открытым лишь вопрос о поведении функции g(x) при .
Мы докажем существование конечного предела
;
положив тогда g(0)=K, мы в точке t=0 получим непрерывность, и применение леммы окажется оправданным. Но второй множитель в правой части равенства (16) явно имеет пределом единицу; обратимся к выражению квадратных скобках.
Пусть, для простаты, сначала точка лежит внутри промежутка, где функция f(x) дифференцируема. Тогда , и каждое из соотношений
(17)
стремится к пределу , а -- к нулю. Если же есть «точка стыка», то при этом она может оказаться как точкой непрерывности, так и точкой разрыва. В первом случае мы опять столкнемся с отношением (17), но они будут стремиться на этот раз к различным пределам, соответственно--к производной справа и к производной слева. К аналогичному результату придем и в случае разрыва, но здесь заменится значениями тех функций, от склеивания которых получилась данная, а пределами отношений (17) будут односторонние производные упомянутых функций при .
Итак, наше заключение справедливо во всех случаях.