1.2 Представления унитарными матрицами и полная приводимость представлений конечных групп

Представление группы называется унитарным, если для всех матрица является унитарной, т.е. . Здесь обозначает матрицу, транспонированную к , где , а - величина, комплексно - сопряженная к . В этом параграфе мы покажем, что каждое представление конечной группы эквивалентно некоторому ее унитарному представлению и является мполне приводимым.

Матрица называется эрмитовой, если , и положительно определенной, если для каждого ненулевого столбца . Следующая лемма тривиальна.

Лемма 2.1. Пусть - произвольная невырожденная матрица. Тогда - положительно определенная эрмитова матрица. Кроме того, сумма положительно определенных эрмитовых матриц также является положительно определенной эрмитовой матрицей.

Лемма 2.2. Для любой положительно определенной эрмитовой матрицы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что .

Доказательство. Пусть . Тогда и . Пусть

.

Положим

Тогда

и - положительно определенная эрмитова матрица. Для завершения доказательства достаточно воспользоваться индукцией по порядку матрицы .

Теорема 2.3. Пусть - конечная группа. Для каждого представления группы найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что является унитарной матрицей для всех .

Доказательство. Положим

Тогда в силу леммы 2.1 является положительно определенной эрмитовой матрицей. Таким образом, найдется невырожденная верхнетреугольная матрица , такая, что и поэтому . Так как

то , т.е. ; поэтому - унитарная матрица.

Теорема 2.4. Каждое представление конечной группы вполне приводимо.

Доказательство. Пусть - приводимое представление конечной группы , и пусть разлагается следующим образом:

В силу предыдущей теоремы существует невырожденная матрица , такая, что - унитарная матрица. Так как верхнетреугольная, то имеет вид

Поскольку , мы получаем

откуда следует, что .