Представления конечных групп
1.6 Произведение представлений
Пусть - квадратные матрицы порядков и соответственно, и пусть . Определим кронекерово, или тензорное, произведение матриц и следующим образом:
Значит, представляет собой квадратную матрицу порядка . Непосредственными вычислениями устанавливается следующая
Лемма 6.1.
(1) ,
(2) если имеют степень , a - степень , то
Пусть и - представления группы . Тогда в силу леммы 6.1 (2) отображение
также является представлением этой группы. Такое представление называют произведением представлений и обозначают через . Пусть - характеры представлений соответственно. По лемме 6.1 (1)
Пусть - полный набор неприводимых представлений группы , а - характер . Отображение также является неприводимым, и его характер - это , где . Пусть .
Теорема 6.2. Равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Таким образом, кратность вхождения в равна кратности вхождения в
Теорема 6.3. Пусть - точное представление группы и - его характер. Пусть - число различных значений, которые принимает на . Тогда каждое неприводимое представление группы входит в
для некоторого , где .
Доказательство. Предположим, что неприводимое представление не входит в . Пусть - характеры и соответственно. Тогда
для . Пусть принимает на значение . Положим и . В силу (6.1)
для Рассмотрим (6.2) как систему линейных уравнений для . Поскольку , эта система имеет решение .
Пусть - степень представления , т.е. . Мы можем считать, что . Покажем, что . Пусть , т.е. . Обозначим через циклическую группу, порожденную элементом . По теореме 3.3 эквивалентно прямой сумме представлений степени 1. Значит, для некоторой невырожденной матрицы
Пусть - порядок элемента . Тогда . Взяв след в равенстве (6.3), получаем . Это означает, что , т.е. . Плскольку точно, . Поэтому и . Полученное противоречие доказывает теорему.
Таблицы характеров. Пусть - группа и - классы сопряженных элементов в . Пусть - нерпиводимые характеры группы , а - представители ее классов сопряженных элементов. Отметим, что в силу теоремы 4.10 число неприводимых характеров совпадает с числом классов сопряженности. Упорядочим значения таким образом, чтобы получить таблицу характеров группы , в которой строки помечены различными неприводимыми характерами, начиная с , а столбцы - классами сопряженности группы , начиная с класса .
Различные строки таблицы характеров ортогональны между собой в смысле теоремы , а в силу теоремы 4.9 столбцы ортогональны между собой в обычном смысле как векторы комплексного унитарного пространства.