Преобразование Фурье и его некоторые приложения

курсовая работа

Сверстка и преобразования Фурье

Определение 5.1. Сверткой функций и , абсолютно интегрируемых на числовой прямой , называется функция

.(5.1)

Теорема 5.1. Если , то:

свертка функций существует почти для любых и ;

для преобразования Фурье сверстки справедлива формула

.(5.2)

Вначале докажем, что .

.

.

Во внутреннем интеграле при любом фиксированном вводим подстановку

.

На основании следствия из теоремы Фубини ([1], стр.318) из существования повторного интеграла следует существование второго повторного интеграла и соответствующего им двойного интеграла, а также равенство этих интегралов.

А тогда получим

.(5.3)

Правая часть оценки (5.3) есть один из указанных выше повторных интегралов.

Из указанной оценки следует, что , что говорит о существовании почти для всех свертки функций.

Дальше докажем формулу (7.2).

Если , то существует преобразование Фурье свертки. Тогда

.

Изменение порядка интегрирования законно на основании указанного выше следствия из теоремы Фубини (учесть еще, что ).

Делись добром ;)