Приближенное решение интегрального уравнения
I. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка
, (1)
где функция задана таблично
i |
fi(x) |
|
0 |
8,1548 |
|
1 |
6,8925 |
|
2 |
5,8327 |
|
3 |
4,9907 |
|
4 |
4,3818 |
|
5 |
4,0188 |
|
6 |
3,9098 |
|
7 |
4,0581 |
|
8 |
4,4615 |
|
9 |
5,1129 |
|
10 |
6 |
Будем искать решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям
(2)
Запишем таблицу значений функций
i |
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0,1 |
-0,2 |
0,03 |
|
2 |
0,2 |
-0,4 |
0,12 |
|
3 |
0,3 |
-0,6 |
0,27 |
|
4 |
0,4 |
-0,8 |
0,48 |
|
5 |
0,5 |
-1 |
0,75 |
|
6 |
0,6 |
-1,2 |
1,08 |
|
7 |
0,7 |
-1,4 |
1,47 |
|
8 |
0,8 |
-1,6 |
1,92 |
|
9 |
0,9 |
-1,8 |
2,43 |
|
10 |
1 |
-2 |
3 |
1. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
1. Пусть и значения и в каждом узле можно записать конечно-разностными отношениями
(3)
тогда, используя (3), заменим уравнения (1), (2) системой
(4)
Решая систему (4), получим
2. Пусть тогда, используя (3), заменим уравнения (1), (2) системой:
(5)
Решая систему (5), получим
2. Метод центральных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
1. Пусть и значения и в каждом узле можно записать центрально-разностными отношениями
(6)
тогда, используя (6), заменим уравнения (1), (2) системой:
(7)
Решая систему (7), получим:
2. Пусть , тогда, используя (6), заменим уравнения (1), (2) системой:
(8)
Решая систему (8), получим
Рис.1-- решение, полученное с помощью метода конечных разностей (h=0,1), - решение, полученное с помощью метода центральных разностей (h=0,1), - точное решение
Рис.2-- решение, полученное с помощью метода конечных разностей (h=0,2), - решение , полученное с помощью метода центральных разностей (h=0,2) -точное решение
Рис.3- Общий график решений
3. Метод прогонки для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Конечно-разностные отношения в методе прогонки.
1. Пусть и значения и в каждом узле можно записать конечно-разностными отношениями:
(9)
тогда, используя (20), заменим уравнения (1), (2), (3) системой:
(10)
Запишем первые n-1 уравнений в виде:
, где (11)
Из системы (21) следует, что (12)
, вычисляются последовательно, но при i=0:
(13)
Остальные , вычисляются по формуле:
(14)
Прямой ход вычислений.
По формулам (11) вычисляем . Далее вычисляем по формулам (13) и по рекуррентным формулам (14) находим .
Обратный ход.
Из уравнения (12) при i=n-2 и из последнего уравнения системы (10) получаем:
Решив эту систему относительно , получим
(15)
При i=n-2,…,1 используем формулу (12)
вычисляем из второго уравнения системы (10)
(16)
В результате вычислений получим таблицу:
Таблица №1
Прямой ход |
Обратный ход |
|||||||||
i |
xi |
pi |
qi |
fi |
mi |
ki |
ci |
di |
yi |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
8.1548 |
-2 |
1 |
-1.125 |
0.081548 |
3.049606 |
|
1 |
0.1 |
-0.2 |
0.03 |
6.9025 |
-2.02 |
1.0203 |
-1.14658 |
0.162629 |
2.744645 |
|
2 |
0.2 |
-0.4 |
0.12 |
5.8327 |
-2.04 |
1.0412 |
-1.18177 |
0.252476 |
2.521233 |
|
3 |
0.3 |
-0.6 |
0.27 |
4.9907 |
-2.06 |
1.0627 |
-1.24358 |
0.366984 |
2.361553 |
|
4 |
0.4 |
-0.8 |
0.48 |
4.3818 |
-2.08 |
1.0848 |
-1.36806 |
0.538893 |
2.250789 |
|
5 |
0.5 |
-1 |
0.75 |
4.0188 |
-2.1 |
1.1075 |
-1.70977 |
0.856677 |
2.176909 |
|
6 |
0.6 |
-1.2 |
1.08 |
3.9098 |
-2.12 |
1.1308 |
-5.35913 |
1.695401 |
2.130132 |
|
7 |
0.7 |
-1.4 |
1.47 |
4.0581 |
-2.14 |
1.1547 |
0.247024 |
10.53205 |
2.10254 |
|
8 |
0.8 |
-1.6 |
1.92 |
4.4615 |
-2.16 |
1.1792 |
-0.40795 |
-3.02327 |
2.087729 |
|
9 |
0.9 |
-1.8 |
2.43 |
5.1129 |
-2.18 |
1.2043 |
-0.59217 |
-1.43418 |
2.080518 |
|
10 |
1 |
-2 |
3 |
6 |
-2.2 |
1.23 |
-0.67952 |
-0.98461 |
2.076684 |
2. Пусть
В результате вычислений по формулам (9)-(16) получим таблицу:
Таблица №2
Прямой ход |
Обратный ход |
|||||||||
i |
xi |
pi |
qi |
fi |
mi |
ki |
ci |
di |
yi |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
8.1548 |
-2 |
1 |
-1.125 |
0.081548 |
2.048941 |
|
1 |
0.2 |
-0.4 |
0.12 |
5.8327 |
-2.04 |
1.0412 |
-1.15121 |
0.156074 |
1.844047 |
|
2 |
0.4 |
-0.8 |
0.48 |
4.3818 |
-2.08 |
1.0848 |
-1.20313 |
0.247519 |
1.720701 |
|
3 |
0.6 |
-1.2 |
1.08 |
3.9098 |
-2.12 |
1.1308 |
-1.31665 |
0.407622 |
1.650761 |
|
4 |
0.8 |
-1.6 |
1.92 |
4.4615 |
-2.16 |
1.1792 |
-1.64636 |
0.835965 |
1.619574 |
|
5 |
1 |
-2 |
3 |
6 |
-2.2 |
1.23 |
-5.71492 |
5.936293 |
1.63769 |
Рис.3-- решение, полученное с помощью метода прогонки с использованием конечно-разностных отношений (h=0,1),- решение, полученное с помощью метода прогонки с использованием конечно разностных отношений (h=0,2) , - точное решение