Приближенное решение интегрального уравнения

курсовая работа

I. РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

, (1)

где функция задана таблично

i

fi(x)

0

8,1548

1

6,8925

2

5,8327

3

4,9907

4

4,3818

5

4,0188

6

3,9098

7

4,0581

8

4,4615

9

5,1129

10

6

Будем искать решение уравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям

(2)

Запишем таблицу значений функций

i

0

0

0

0

1

0,1

-0,2

0,03

2

0,2

-0,4

0,12

3

0,3

-0,6

0,27

4

0,4

-0,8

0,48

5

0,5

-1

0,75

6

0,6

-1,2

1,08

7

0,7

-1,4

1,47

8

0,8

-1,6

1,92

9

0,9

-1,8

2,43

10

1

-2

3

1. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Пусть и значения и в каждом узле можно записать конечно-разностными отношениями

(3)

тогда, используя (3), заменим уравнения (1), (2) системой

(4)

Решая систему (4), получим

2. Пусть тогда, используя (3), заменим уравнения (1), (2) системой:

(5)

Решая систему (5), получим

2. Метод центральных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

1. Пусть и значения и в каждом узле можно записать центрально-разностными отношениями

(6)

тогда, используя (6), заменим уравнения (1), (2) системой:

(7)

Решая систему (7), получим:

2. Пусть , тогда, используя (6), заменим уравнения (1), (2) системой:

(8)

Решая систему (8), получим

Рис.1-- решение, полученное с помощью метода конечных разностей (h=0,1), - решение, полученное с помощью метода центральных разностей (h=0,1), - точное решение

Рис.2-- решение, полученное с помощью метода конечных разностей (h=0,2), - решение , полученное с помощью метода центральных разностей (h=0,2) -точное решение

Рис.3- Общий график решений

3. Метод прогонки для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

Конечно-разностные отношения в методе прогонки.

1. Пусть и значения и в каждом узле можно записать конечно-разностными отношениями:

(9)

тогда, используя (20), заменим уравнения (1), (2), (3) системой:

(10)

Запишем первые n-1 уравнений в виде:

, где (11)

Из системы (21) следует, что (12)

, вычисляются последовательно, но при i=0:

(13)

Остальные , вычисляются по формуле:

(14)

Прямой ход вычислений.

По формулам (11) вычисляем . Далее вычисляем по формулам (13) и по рекуррентным формулам (14) находим .

Обратный ход.

Из уравнения (12) при i=n-2 и из последнего уравнения системы (10) получаем:

Решив эту систему относительно , получим

(15)

При i=n-2,…,1 используем формулу (12)

вычисляем из второго уравнения системы (10)

(16)

В результате вычислений получим таблицу:

Таблица №1

Прямой ход

Обратный ход

i

xi

pi

qi

fi

mi

ki

ci

di

yi

0

0

0

0

8.1548

-2

1

-1.125

0.081548

3.049606

1

0.1

-0.2

0.03

6.9025

-2.02

1.0203

-1.14658

0.162629

2.744645

2

0.2

-0.4

0.12

5.8327

-2.04

1.0412

-1.18177

0.252476

2.521233

3

0.3

-0.6

0.27

4.9907

-2.06

1.0627

-1.24358

0.366984

2.361553

4

0.4

-0.8

0.48

4.3818

-2.08

1.0848

-1.36806

0.538893

2.250789

5

0.5

-1

0.75

4.0188

-2.1

1.1075

-1.70977

0.856677

2.176909

6

0.6

-1.2

1.08

3.9098

-2.12

1.1308

-5.35913

1.695401

2.130132

7

0.7

-1.4

1.47

4.0581

-2.14

1.1547

0.247024

10.53205

2.10254

8

0.8

-1.6

1.92

4.4615

-2.16

1.1792

-0.40795

-3.02327

2.087729

9

0.9

-1.8

2.43

5.1129

-2.18

1.2043

-0.59217

-1.43418

2.080518

10

1

-2

3

6

-2.2

1.23

-0.67952

-0.98461

2.076684

2. Пусть

В результате вычислений по формулам (9)-(16) получим таблицу:

Таблица №2

Прямой ход

Обратный ход

i

xi

pi

qi

fi

mi

ki

ci

di

yi

0

0

0

0

8.1548

-2

1

-1.125

0.081548

2.048941

1

0.2

-0.4

0.12

5.8327

-2.04

1.0412

-1.15121

0.156074

1.844047

2

0.4

-0.8

0.48

4.3818

-2.08

1.0848

-1.20313

0.247519

1.720701

3

0.6

-1.2

1.08

3.9098

-2.12

1.1308

-1.31665

0.407622

1.650761

4

0.8

-1.6

1.92

4.4615

-2.16

1.1792

-1.64636

0.835965

1.619574

5

1

-2

3

6

-2.2

1.23

-5.71492

5.936293

1.63769

Рис.3-- решение, полученное с помощью метода прогонки с использованием конечно-разностных отношений (h=0,1),- решение, полученное с помощью метода прогонки с использованием конечно разностных отношений (h=0,2) , - точное решение

Делись добром ;)