Приближенные методы решения краевых задач, для дифференциальных уравнений с частными производными
ВВЕДЕНИЕ
Значительное число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнения математической физики).
Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.
Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов, получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей или метод сеток.
Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неизвестной сеточной функции.
1. Классификация дифференциальных уравнений с частными производными
В общем случае дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными, имеет вид
(1)
где ,- независимые переменные, - искомая функция, , , , , - ее частные производные.
Решением уравнения называется функция , обращающая это уравнение в тождество. График решения представляет собой поверхность.
Уравнение называется линейным, если оно первой степени, относительно искомой функции и всех ее производных и не содержит их произведений. Линейное уравнение может быть записано в виде:
(2)
где коэффициенты A, B, C, a, b, c могут зависеть от x и y. Если эти коэффициенты не зависят от x и y, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Выражение называют дискриминантом уравнения. В зависимости от знака D линейное дифференциальное уравнение (2) относится в данной области к одному из трех типов:
1) - уравнение эллиптического типа;
2) - уравнение параболического типа;
3) - уравнение гиперболического типа.