Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

курсовая работа

3.3.4 Вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой

Пусть на плоскости Оху задана система материальных точек М(х;у), М22;y), … , M(x;y) соответственное массами m,m, … , m„.

  • Статическим моментом SХ системы материальных точек относи-тельно оси Ох называется сумма произведений масс этих точек на их ординаты (т. е. на расстояния этих точек от оси Ох):
  • Аналогично определяется статистический момент S этой системы относительно оси Oy: S= .
  • Если массы распределены непрерывным образом вдоль некоторой кри-вой, то для выражения статического момента понадобится интегрирова-ние.
  • Пусть у =f/(х) (a ? х ? b) -- это уравнение материальной кривой АВ. Будем считать ее однородной с постоянной линейной плотностью ( = const).
  • Для произвольного х [а;b] на кривой АВ найдется точка с коорди-натами (х; у). Выделим на кривой элементарный участок длины dl, содер-жащий точку (х;у). Тогда масса этого участка равна . Примем этот участок dl приближенно за точку, отстоящую от оси Ох на расстоянии у. Тогда дифференциал статического момента dS (“элементарный момент”) будет равен , т.е. .
  • Отсюда следует, что статический момент SХ кри-вой АВ относительно оси Ох равен
  • Аналогично находим S:
  • Статические моменты SХ и SУ кривой позволя-ют легко установить положение ее центра тяжести (центра масс).
  • Центром тяжести материальной плоской кривой у = f(х), х 6 [а; b] называется точка плоскости, обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу т заданной кривой, то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен ста-тическому моменту всей кривой у = f(х) относительно той же оси. Обо-значим через С(хсс) центр тяжести кривой АВ.
  • Из определения центра тяжести следуют равенства и или и . Отсюда ,
  • или
  • Пример. Найти центр тяжести однородной дуги окружности x + y= R2, расположенной в первой координатной четверти (рис 16).[5]
  • Решение: Очевидно, длина указанной окружности равна , т.е. . Найдем статистический момент ее относительно оси Ох. Так как уравнение дуги есть и , то ()
  • .
  • Стало быть,
  • Так как данная дуга симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то хс = ус = Итак, це
  • Делись добром ;)