Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам

дипломная работа

1.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИ.

Решение уравнения представляется геометрически графиком функции . Этот график определяет интегральную кривую на плоскости .

Если X непрерывна в D, то предложение 1 утверждает, что интегральные кривые заполняют область D плоскости . Это следует из того, что каждая точка D должна лежать, по крайней мере, на одной интегральной кривой. Таким образом, решения дифференциального уравнения представляются семейством интегральных кривых в D (рис. 1.1--1.3).

Eсли обе функции X и непрерывны в D, то из предложения 2 следует, что существует единственная интегральная кривая, проходящая через каждую точку D.

Примеры.

1. Рассмотрим уравнение

(1.2)

в области D плоскости (t, x).

Интегрируя его, мы получим

следовательно

Когда , .

Для точек , будем рассматривать перевернутое уравнение

(1.2)

Как мы видим, интегральными кривыми уравнения (1.2) являются гиперболы:

верхняя и нижняя части оси Ox.

,(

тоже являются интегральными кривыми, что вытекает из рассмотрения уравнения (1.2).

Интегральные кривые следующих уравнений исследуем с помощью метода изоклин. Это метод позволяет, не интегрируя уравнение, увидеть, как ведут себя его решения.

2. Рассмотрим уравнение

(1.3)

Дифференциальное уравнение задает наклон интегральных кривых

(т.е. угловой коэффициент касательных к ним) во всех точках области D. Так, в частности, в точках пересечения с кривой (где -- некоторая постоянная) интегральные кривые имеют наклон . Такая кривая называется изоклиной наклона. Множество изоклин, которое получается, когда мы придаем различные действительные значения, -- это семейство прямых:

,

.

А угол наклона касательных к интегральным кривым можно найти из

формулы:

Таким образом, при

при

3. Сделаем набросок интегральных кривых уравнения

(1.4)

в области D плоскости t, х, где .

1) В этом случае интегральные кривые имеют наклон в точках

пересечения с кривой .

А множество изоклин, которое получается, когда мы придаем с различные действительные значения, -- это семейство гипербол:

с асимптотами .

Множество изоклин:

2) Знак определяет, в каких точках D интегральные кривые выпуклы, а

в каких вогнуты. Если , то функция возрастает (убывает) при возрастании t и интегральная кривая вогнута (выпукла). Таким образом, область D можно разбить на два подмножества, на каждом из которых интегральные кривые либо выпуклы, либо вогнуты; эти множества разделяются кривой . Для уравнения (1.4) получается

и D разбивается на области .

3) Изоклины расположены симметрично относительно прямой , и,

значит, интегральные кривые тоже должны быть относительно ее симметричны. Функция удовлетворяет соотношению , из которого следует, что если .

Эти три замечания позволяют сделать набросок интегральных кривых для уравнения (1.4) вогнутости (P) интегральных дифференциального уравнения кривых уравнения

Можно увидеть, что обе функции непрерывны в , так что через каждую точку проходит единственная интегральная кривая.

Так же решения можно найти с помощью разделения переменных. Семейство интегральных кривых состоит из кривых, заданных уравнением

(1.5)

где С - постоянная, и решения . Однако нарисовать интегральные кривые непосредственно по уравнению (1.5) труднее, чем по самому дифференциальному уравнению (1.4).

Делись добром ;)