Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Линейное отображение: ,
можно записать в матричной форме:
Соответственно дифференциальное уравнение принимает вид
(3.1)
Где A-- матрица коэффициентов. Каждая компонента производной является линейной функцией переменных . Эти переменные являются просто координатами точки относительно базиса в , где .
Следовательно,
Чтобы сделать замену переменных, надо координаты представить как функцию новых переменных.
(3.2)
где для всех i и j. Конечно, одному набору старых координат должен соответствовать один набор новых координат и наоборот. Это значит, что отображение (3.2) должно быть взаимно однозначным, и, следовательно, М должна быть обратимой матрицей. Отсюда следует, что столбцы матрицы М должны быть линейно независимы.
Из формулы (3.2) вытекает, что
и мы видим, что -- это координаты точки относительно нового базиса . Уравнение (3.1) легко можно записать через новые переменные; получим
так что
где
Таким образом, матрица коэффициентов В подобна А.
Подобие является отношением эквивалентности между матрицами; отсюда следует, что множество таких матриц по этому отношению распадается на классы эквивалентности. Для любых двух матриц , принадлежащих одному классу эквивалентности, системы и yсвязаны соотношением , где . Таким образом, если одна из этих систем решена, то можно получить решения для любой системы с матрицей того же класса.
Предложение 3.1 Пусть -- действительная 22-матрица. Тогда существует действительная неособая матрица M такая, что принадлежит одному из нижеперечисленных типов:
(a) , ; (b) ; (3.3)
(c) (d),
Где
Определение 2. Матрица называется жордановой формой матрицы . Собственные значения матрицы (и ) -- это значения , для которых
.
Здесь - след матрицы А, а - ее определитель. Таким образом, собственными значениями являются
(3.4)
где
(3.5)
Именно характер собственных значений определяет тип, к которому относится матрица .
Жорданова форма зависит от вида собственных значений, являются ли они действительными различными (), действительными совпадающими () или комплексными ().
(a) Действительные различные собственные значения ()
Собственные векторы матрицы А определяются из уравнений
(i=1, 2),
где -- различные собственные значения.
Пусть
матрица, столбцами которой являются собственные векторы. Тогда
где
В случае различных действительных собственных значений собственные векторы линейно независимы и, следовательно, матрица М неособая. Так что
(b) Совпадающие собственные значения ()
Из уравнения (3.4) получаем, что . В этом случае мы должны рассмотреть две возможности.
(i) Матрица диагональная
что соответствует случаю (3.3(b)). Здесь для любой неособой матрицы М мы имеем . Следовательно, подобна только самой себе и является единственной в своем классе эквивалентности.
(ii) Матрица А недиагональная
В этом случае, так как , rank (А --) = 1 и не существует двух линейно независимых собственных векторов. Пусть -- некоторый собственный вектор А. Если мы положим и выберем так, чтобы матрица была неособой, то
,
где -- первый столбец единичной матрицы I.
Матрицы А и имеют одинаковые собственные значения, так что
,
где . Однако переход от М к
дает
,
что соответствует случаю (3.3 (с)).
(c) Комплексные собственные значения ()
Можно обозначить , где . Надо показать, что существует неособая матрица такая, что имеет вид (3.3(d)), или, что равносильно,
.
Записав матрицу М через ее столбцы, получим
или
Это матричное уравнение можно записать как систему четырех линейных однородных уравнений относительно неизвестных элементов матрицы М:
(3.6)
Пусть P - матрица коэффициентов в (3.5), а
Получается, что
,
где - характеристический полином матрицы A. По теореме Кэли -- Гамильтона, утверждающей, что всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, , так что
здесь 0 -- нулевая 44-матрица. Таким образом, столбцы матрицы Q являются решениями уравнения (3.6). Первый столбец Q дает
(3.7)
Заметим, что дискриминант имеет вид
Если то , следовательно, . Тогда и , и мы получаем, что Таким образом (3.7) дает неособую матрицу М такую, что имеет вид (3.3(d)).
Любая действительная 22-матрица А попадает в один, и только один, из указанных в (3.3) классов.