Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам

дипломная работа

3.1 ЛИНЕЙНАЯ ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ

Линейное отображение: ,

можно записать в матричной форме:

Соответственно дифференциальное уравнение принимает вид

(3.1)

Где A-- матрица коэффициентов. Каждая компонента производной является линейной функцией переменных . Эти переменные являются просто координатами точки относительно базиса в , где .

Следовательно,

Чтобы сделать замену переменных, надо координаты представить как функцию новых переменных.

(3.2)

где для всех i и j. Конечно, одному набору старых координат должен соответствовать один набор новых координат и наоборот. Это значит, что отображение (3.2) должно быть взаимно однозначным, и, следовательно, М должна быть обратимой матрицей. Отсюда следует, что столбцы матрицы М должны быть линейно независимы.

Из формулы (3.2) вытекает, что

и мы видим, что -- это координаты точки относительно нового базиса . Уравнение (3.1) легко можно записать через новые переменные; получим

так что

где

Таким образом, матрица коэффициентов В подобна А.

Подобие является отношением эквивалентности между матрицами; отсюда следует, что множество таких матриц по этому отношению распадается на классы эквивалентности. Для любых двух матриц , принадлежащих одному классу эквивалентности, системы и yсвязаны соотношением , где . Таким образом, если одна из этих систем решена, то можно получить решения для любой системы с матрицей того же класса.

Предложение 3.1 Пусть -- действительная 22-матрица. Тогда существует действительная неособая матрица M такая, что принадлежит одному из нижеперечисленных типов:

(a) , ; (b) ; (3.3)

(c) (d),

Где

Определение 2. Матрица называется жордановой формой матрицы . Собственные значения матрицы (и ) -- это значения , для которых

.

Здесь - след матрицы А, а - ее определитель. Таким образом, собственными значениями являются

(3.4)

где

(3.5)

Именно характер собственных значений определяет тип, к которому относится матрица .

Жорданова форма зависит от вида собственных значений, являются ли они действительными различными (), действительными совпадающими () или комплексными ().

(a) Действительные различные собственные значения ()

Собственные векторы матрицы А определяются из уравнений

(i=1, 2),

где -- различные собственные значения.

Пусть

матрица, столбцами которой являются собственные векторы. Тогда

где

В случае различных действительных собственных значений собственные векторы линейно независимы и, следовательно, матрица М неособая. Так что

(b) Совпадающие собственные значения ()

Из уравнения (3.4) получаем, что . В этом случае мы должны рассмотреть две возможности.

(i) Матрица диагональная

что соответствует случаю (3.3(b)). Здесь для любой неособой матрицы М мы имеем . Следовательно, подобна только самой себе и является единственной в своем классе эквивалентности.

(ii) Матрица А недиагональная

В этом случае, так как , rank (А --) = 1 и не существует двух линейно независимых собственных векторов. Пусть -- некоторый собственный вектор А. Если мы положим и выберем так, чтобы матрица была неособой, то

,

где -- первый столбец единичной матрицы I.

Матрицы А и имеют одинаковые собственные значения, так что

,

где . Однако переход от М к

дает

,

что соответствует случаю (3.3 (с)).

(c) Комплексные собственные значения ()

Можно обозначить , где . Надо показать, что существует неособая матрица такая, что имеет вид (3.3(d)), или, что равносильно,

.

Записав матрицу М через ее столбцы, получим

или

Это матричное уравнение можно записать как систему четырех линейных однородных уравнений относительно неизвестных элементов матрицы М:

(3.6)

Пусть P - матрица коэффициентов в (3.5), а

Получается, что

,

где - характеристический полином матрицы A. По теореме Кэли -- Гамильтона, утверждающей, что всякая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена, , так что

здесь 0 -- нулевая 44-матрица. Таким образом, столбцы матрицы Q являются решениями уравнения (3.6). Первый столбец Q дает

(3.7)

Заметим, что дискриминант имеет вид

Если то , следовательно, . Тогда и , и мы получаем, что Таким образом (3.7) дает неособую матрицу М такую, что имеет вид (3.3(d)).

Любая действительная 22-матрица А попадает в один, и только один, из указанных в (3.3) классов.

Делись добром ;)