Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии

дипломная работа

2.7. Принцип двойственности.

Мы видели, что любое движение сферы переводит пару диаметрально противоположных точек снова в пару диаметрально противоположных точек. Таким образом, пара диаметрально противоположных точек является в сферической геометрии самостоятельным геометрическим объектом. Отметим одно замечательное свойство этих пар точек: всякой теореме сферической геометрии соответствует другая теорема этой геометрии, получающаяся из первой взаимной заменой слов: «пара диаметрально противоположных точек» и «большая окружность», «лежит на» и «проходит через», «соединяются» и «пересекаются на» и т.д. Например:

Всякие две большие окружности на сфере пересекаются в одной

паре диаметрально противопо-ложных точек.

Всякие две пары диаметрально противоположных точек сферы соединяются одной большой окружностью

Это свойство теорем сферической геометрии является следствием того, что всякой большой окружности на сфере взаимно однозначно соответствует пара её полюсов, а всякой паре диаметрально противоположных точек сферы взаимно однозначно соответствует их поляра, причём если большая окружность проходит через пару диаметрально противоположных точек, то полюсы этой окружности лежат на поляре этой пары точек (рис.18). Это свойство называется принципом двойственности, а теоремы, получающиеся друг из друга указанной заменой, называются двойственными друг другу теоремами. Если одна из двух двойственных теорем доказана, то доказательство второй теоремы может быть получено из доказательства первой теоремы переходом от каждой большой окружности к ее полюсам, а от каждой пары диаметрально противоположных точек - к ее поляре.

Рис 18

Делись добром ;)