Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab
4. Дифференциальные уравнения
Многие физические законы имеют вид дифференциальных уравнений, т. е. соотношений между функциями и их производными. Задача интегрирования этих уравнений -- важнейшая задача математики. Одни дифференциальные уравнения удается проинтегрировать в явном виде, т.е. записать искомую функцию в виде формул. Для решения других до сих пор не удается найти достаточно удобных формул. В этих случаях можно найти приближенные решения с помощью вычислительных машин. Мы не будем подробно изучать методы интегрирования дифференциальных уравнений, а только рассмотрим несколько примеров.
Примеры
1. Уравнение механического движения. Пусть материальная точка массы т движется под действием силы F по оси х. Обозначим t время ее движения, и -- скорость, а -- ускорение. Второй закон Ньютона, а = Fm примет вид дифференциального уравнения, если записать ускорение, а как вторую производную: a=x.
Уравнение тх" = F называют уравнением, механического движения, где x = x(t)--неизвестная функция, т и F -- известные величины. В зависимости от условий задачи по-разному и записываются различные дифференциальные уравнения.
2. Радиоактивный распад
-- масса распадающего вещества. Количество распадающего вещества пропорционально количеству и времени, т.е. при имеем
.
Решение дифференциального уравнения- . Дополнительные условия- , тогда задача
Решение задачи:
3.Движение системы N материальных точек.
Система уравнений Ньютона
,
-масса, - радиус вектор i-ой точки, - сила воздействующая на i-ую точку.
Частный случай колебания маятника
.
При малых колебаниях и тогда уравнение имеет вид:
.
4. Прогибание упругого стержня.
Если стержень однороден, то вдоль стержня постоянное касательное натяжение . Тогда вертикальная сила в точке x, где смещение u(x). Если в каждой точке стержня действует внешняя сила то
.
Откуда
Рассмотрим частный случай , тогда получаем уравнение
и его решение
.
Дополнительные условия (закрепленные концы) - . Тогда задача
.
Ответ: