Применение интегралов к решению прикладных задач

курсовая работа

1.1 Площадь криволинейной трапеции

Вычислим площадь плоских фигур при помощи интегралов.

На первом месте рассмотрим в строгом изложении задачу об определении площади криволинейной трапеции (чертёж 1). Эта фигура ограничена сверху кривой , имеющей уравнение , где - положительная и непрерывная в промежутке функция; снизу она ограничена отрезком оси , а с боков - двумя ординатами и (каждая из которых может свестись к точке).

Чертёж 1.

Так как площадь P рассматриваемой фигуры ABCD существует, то будем вести речь лишь об её вычислении. С этой целью разобьём промежуток на части, вставив между a и b ряд точек . Обозначив через и , соответственно, наибольшее и наименьшее значения функции в i-м промежутке(i=0,1,…,n-1), составим суммы (Дарбу)

, .

Они, очевидно, представляют собой площади ступенчатых фигур, составленных, соответственно, из входящих и выходящих прямоугольников(см. чертёж). Поэтому . Но при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе суммы имеют своим пределом интеграл , следовательно, ему и равна искомая площадь P=. (1)

Если криволинейная трапеция CDFE ограничена и снизу и сверху кривыми (чертёж 2), уравнения которых и , то, рассматривая её как разность двух фигур и , получим площадь названной трапеции в виде P=. (2)

Пусть теперь дан сектор AOB (чертёж 3), ограниченной кривой AB и двумя радиусами-векторами AO и OB (каждый из которых может свестись к точке). При этом кривая AB задаётся полярным уравнением , где - положительная непрерывная в промежутке функция.

Чертёж 2. Чертёж 3.

Вставив между и (см. чертёж) значения , проведём соответствующие этим углам радиус-векторы. Если ввести и здесь наименьшее и наибольшее значение функции в и , то круговые секторы, описанные этими радиусами, будут, соответственно, входящими и выходящими для фигуры(P). Составим отдельно из выходящих секторов две фигуры, площади которых будут и .

В этих суммах и легко узнать суммы Дарбу для интеграла ; при стремлении к нулю наибольшей из разностей обе они имеют пределом этот интеграл. Тогда фигура (P) квадрируема и P=. (3)

Примеры:

1). Определить площадь фигуры, заключённой между двумя конгруэнтными параболами и (чертёж 4).

Очевидно, нужно воспользоваться формулой (2), полагая там , . чертёж 4.

Для установления промежутка интегрирования решим совместно данные уравнения и найдём абсциссу точки M пересечения обеих парабол, отличной от начала; она равна 2p. Имеем

.

2). Формула (1) может быть использована и в том случае, если кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана параметрически или уравнениями , . . Произведя замену в интеграле (1), получим (в предположении, что при и при ): . (4)

Если, например, при вычислении площади эллипса исходить из его параметрического представления , и учесть, что возрастает от до , когда убывает от до нуля, то найдём . Мы вычислили площадь верхней половины эллипса и удвоили её.

Чертёж 5.

3). Найти площадь одного витка архимедовой спирали (чертёж 6).

Имеем по формуле (3) , в то время как площадь круга радиуса будет . Площадь витка спирали равна трети площади круга (этот результат был известен ещё Архимеду). чертёж 6.

4). Аналогично вычисляется площадь фигуры, ограниченной циклоидой

, (чертёж 5). Имеем по формуле (4)

.

Таким образом, искомая площадь оказалась равна утроенной площади круга радиуса a.

Делись добром ;)