1.2 Объём тела

Начнём с почти очевидного замечания: прямой цилиндр высоты H, основанием которого служит квадрируемая плоская фигура (P), имеет объём, равный произведению площади основания на высоту: .

Возьмём многоугольники и , соответственно содержащиеся в (P), так, чтобы их площади и стремились к P . Если на этих многоугольниках построить прямые призмы и высоты H, то их объёмы и будут стремиться к общему пределу , который и будет объёмом нашего цилиндра

Рассмотрим теперь некоторое тело (V), содержащееся между плоскостями и , и станем рассекать его плоскостями, перпендикулярными к оси x (чертёж 7). Допустим, что (чертёж 7) все эти сечения квадрируемы, и пусть площадь сечения, отвечающего абсциссе x, - обозначим её через P(x) - будет непрерывной функцией от x (для ).

Если спроектировать без искажения два подобных сечения на какую-либо плоскость, перпендикулярную к оси x, то они могут либо содержаться одно в другом (чертёж 8а), либо частично одно на другое налегать, (чертёж 8) или лежать одно вне другого (чертёж 8б и 8в). Мы остановимся на том случае, когда два различных сечения, будучи спроектированы на плоскость, перпендикулярную к оси x, оказываются всегда содержащимися одно в другом.

В этом предположении можно утверждать, что тело имеет объём, который выражается формулой . (5)

Для доказательства разобьём отрезок на оси x точками на части и разложим плоскостями , проведёнными через точки деления, всё тело на слои. Рассмотрим i-й слой, содержащийся между плоскостями и (i=0,1,…,n-1). В промежутке функция P(x) имеет наибольшее значение и . Если сечения, отвечающие различным значениям x в этом промежутке, поместить на одну плоскость, скажем, , то все они при сделанном предположении будут содержаться в наибольшем, имеющем площадь , и содержать в себе наименьшее, с площадью . Если на этих, наибольшем и наименьшем, сечениях построить прямые цилиндры высоты , то больший из них будет содержать в себе рассматриваемый слой нашего тела, а меньший сам будет содержаться в этом слое. На основании сделанного вначале замечания объёмы этих цилиндров будут, соответственно, и .

Из входящих цилиндров составится тело (T), а из выходящих - тело (U). Их объёмы равны, соответственно, и и, когда стремится к нулю , имеют общий предел (5). Значит таков же будет и объём тела(V).

Важный частный случай, когда заведомо выполняется указанное выше предположение о взаимном расположении сечений, представляют тела вращения. Вообразим на плоскости xy кривую, заданную уравнением , где непрерывна и неотрицательна. Станем вращать ограниченную её криволинейную трапецию вокруг оси x (чертёж 9а и 9б). Полученное тело (V), очевидно, подходит под рассматриваемый случай, ибо сечения его проектируются на перпендикулярную к оси x плоскость в виде концентрических кругов. Здесь , так что

.

Если криволинейная трапеция ограничена (чертёж 9)

и сверху и снизу кривыми и , то очевидно,

, (7)

Хотя предположение о сечениях здесь может и не выполняться. Вообще доказанный результат легко распространяется на все такие тела, которые получаются путём сложения или вычитания из тел, удовлетворяющих упомянутому предположению.

В общем случае можно утверждать лишь следующее: если тело (V) имеет объём, то он выражается формулой (6).

Примеры: 1). Пусть эллипс вращается вокруг оси x. Так как , то для объёма эллипсоида вращения найдём

.

Аналогично для объёма тела, полученного от вращения вокруг оси y, найдём выражение . Предполагая же в этих формулах , мы получим для объёма щара радиуса r известное значение .

2). То же - для ветви циклоиды , (). Параметрическое уравнение кривой облегчают выполнение подстановки , в формуле . Именно:

.

3). Найти объём трёхосного эллипсоида, заданного каноническим уравнением (чертёж 10).

Плоскость, перпендикулярная к оси x и проходящая через точку M(x) на этой оси, пересечёт эллипсоид по эллипсу. Уравнение проекции его (без искажения) на плоскость yz будет таково: (чертёж 10).

, (x=const).

Отсюда ясно, что полуоси его будут, соответственно,

и ,

а площадь выразится так: .

Таким образом, по формуле (5) искомый объём .